数列存在性问题的分析与解答教案

数列存在性问题的分析与解答教案1.问题呈现题目：已知正项数列的前项和为，且.(1)求的值及数列的通项公式；(2)是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.2.分析与解答分析：第(1)问根据数列通项很容易求出；关键是第(2)问中根据第(1)问的结论，可得，则可考虑分离参数，令则需要分析的单调性以确定的最值.最后，需要考虑为奇数和偶数进行分类讨论.解(1)由.当时，解得或(舍去)当时，由，则，是首项为2，公差为2的等差数列，故(2)由，得，设，则不等式等价于.，，数列单调递增.假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则当为奇数时，得；当为偶数时，得，即.综上，由是非零整数，知存在满足条件3.题后反思针对这类数列的存在性问题，往往需要进行分类参数并构造数列，判断数列的单调性可用比商法或作差法，题目中出现三角函数往往要考虑其周期性，涉及往往需要对为奇数和偶数进行分类讨论.