六年级奥数第一册一单元

雅博培训学校暑假五进六强化班数学讲义第一单元分数的计算及应用第一讲分数的意义和性质

一、知识要点：【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。【分数单位】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。整数的分数单位是1，零没有分数单位，最大的分数单位是1，没有最小的分数单位。【分数各部分名称】在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。和除法相对应，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，因此0不能作为分母。例如：3分子(在除法中相当于被除数)分数线(在除法中相当于除号)5分母(在除法中相当于除数)【真分数】分子比分母小的分数，或者说分数值小于1的分数，如、【假分数】分子不小于分母的分数，或说分数值不小于1的分数，如、【带分数】由整数和真分数合成的数叫带分数，如，【分数的性质】分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数(不为0)，分数值保持不变。将一个分数的分子、分母缩小相同倍数的过程叫约分(缩倍)；将两个或几个分数的分母化为相同的数的过程叫通分(扩倍)

二、分数的表达及应用：例1

(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分)，怎么分？

分析：要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子，则每个孩子应该分得块，能不能分，怎么分？

要求每块巧克力最多只能切成两部分。方法一：把每一块都分成和两个部分，则其中一个人分得9个块，另外三人都分得3个块。方法二：从每一个人出发，一块一块的考虑巧克力的分法，则有如下的分法：

(2)如果把上面

(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？

如果好分，怎么分？

如果不好分，为什么？

分析：要把9块完全相同的巧克力平均分给7个孩子，则每个孩子应该分得块，根据上面的方法二，有如下分法：，

三、通分与约分：利用分数的性质进行等值变换。例2分数的分子加上6，要使分数值不变，则分母应扩大几倍？

分析：分子加上6，则由2增加到了2+6=8，扩大了4倍，要使分数值不变，根据分数的性质，分母也应该扩大4倍。例3计算：

(1)

(2)解：

(1)原式=

(2)原式=1

四、分数大小比较：

1、通分母。变异分母分数为同分母分数例4比较和的大小。分析：根据分数的基本性质，因为，所以。

2、通分子。分子相同，分母大的分数反而小例5把下列各数用“”连接起来。，。分析：由于这六个分数的分母都不同，且大多互质，要化成同分母分数来比较相当困难，这六个分数的分子虽然也不同，但把它们变成相同的数就容易多了。2，5，15，10，12，60=60，统一作分子。由于，根据分子相同，分母越大分数值就越小，可得

3、与整数1比较。例6比较与的大小。分析：这两个分数用计算器都无法通分或化成小数来进行比较。仔细观察，不难发现两个分数的分子与分母的差都很小，可将这两个分数分别拆成整数1与一个分数的差，然后比较。显然因为被减数都是1(一定)，减数越小，差越大，所以

4、倒数比较。倒数大的分数反而小、例7比较分数和的大小。分析：观察两个分数的分子与分母，我们会发现分母都是分子的10倍多1。的倒数是的倒数是显然，一个数倒数越大，这个数越小，所以第二讲分数的乘除计算

一、分数乘整数

1、含义：

2、计算方法：例1：同步练习：小结：整数乘分子作分子能约分的要约分结果是假分数的要化带分数

二、分数乘分数

1、含义：

2、计算方法：例2：同步练习：=小结：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母能约分的要约分带分数要化成假分数后再相乘

三、分数除法

1、含义：小X和小X分桔子，一人一半，小X分得2斤，求原来一共有多少斤？

2=224(斤)张一张二张三分一堆桔子，每人分得堆，结果每人分得2斤。一堆桔子共有几斤？

2236(斤)小红小美分一堆桔子，小红分得其中的，小美分得。这样小红分得4斤，这一堆共有几斤？

446(斤)

2、计算方法：例3：2同步练习：小结：除以一个数等于乘以这个数的倒数颠倒相乘。

四、简单应用例4：小X有一袋糖，他自己留下，剩下的给弟弟小X，结果小X有22颗糖。这袋糖一共有多少颗？

22=2233(颗)答：这袋糖一共有33颗。例5：解方程解：解：同步练习：小X分一桶水，他自己分得升，他分了这桶水的。这桶水共有多少升？

解方程：第三讲分数的速算

一、知识要点：分数的巧算主要是应用各种定律和运算性质，利用数与数之间的特殊关系，合理灵活地进行组合与分解、凑整进行简捷、快速的运算。主要公式有：在等差数列中，求和公式：通项公式：求项公式：平方差公式：分拆公式：，

二、分数求和通分求和，同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。分数分拆求和，利用分拆公式将每一个分数拆开，然后相互抵消，得到简化。错位相减求和，把整个式子看作一个整体，扩大适当的倍数后与原来的式子相减。例1计算：分析：把同分母的分数相加发现，如此，利用等差数列求和公式便可求得结果。解：原式=2+3+4+99+100=(2+100)992=5199=5049例2计算：分析：这里显然不能采用通分求和，联想到分拆公式，把所有的分数都拆成两个分数之差，中间的分数全部消去，原题可解。解：原式=例3计算：根据分拆公式，将算式化简。解：原式=例4计算：分析：可将原式设为，则计算起来简便。解：设通过比较两个式子发现，中间有很多加数是相同的，并且位置是错开来的，两个式子相减便可得到：所以，

三、分数的乘除法分数与分数相乘，分子乘以分子，分母乘以分母，分子与分母有相同的因数可以约分化简。除以一个数，等于乘以这个数的倒数。例5计算：

(1)

(2)解：

(1)原式=

(2)原式====例6计算：

(1)

(2)解：

(1)原式=

(2)原式====第四讲循环小数与分数

一、知识要点：循环小数的定义：从小数点后某一位开始，一个数字或几个数字不断重复出现的小数，叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫做循环小数的循环节。纯循环小数：从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，反之则是混循环小数。

二、分数化小数：分数化为小数时，要么是有限小数，要么是循环小数。最简分数化为小数有三种情况：

1、若分母只含有质因数2或5，那么化为有限小数，小数部分位数为质因数2和5个数最多的那个数的个数。例如：，

2、若分母只含有除2和5以外的质因数，那么化为纯循环小数。例如：，

3、若分母既含有2和5以外的质因数，又含有质因数2或5，那么化为混循环小数，不循环部分的小数位数为质因数2和5个数最多的那个数的个数。例如：，例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？

能化成有限小数的，小数部分有几位？

能化成混循环小数的，不循环部分有几位？

分析：上述分数都是最简分数，并且，根据上面的结论可求解。解：能化成五位有限小数；能化成三位有限小数；、能化成纯循环小数；能化成混循环小数，且不循环部分有一位；能化成混循环小数，且不循环部分有两位。

三、循环小数化分数：去尾法化循环小数为分数(利用方程的思想)如：把化为分数。解：设，则，两者相减得化简得，因此，即化为分数是。例2将化成分数。分析：纯循环小数循环节是1位，可将循环小数乘以10，得

(1)式再减去此循环小数，可化为分数。解：

(1)式

(2)式得例3将化成分数。分析：纯循环小数循环节是3位，可将循环小数乘以1000得

(1)式再减去此循环小数，可化为分数。解：

(1)式

(2)式得例4把化成分数。分析：此题为混纯循环小数，小数点后有两位，可将循环小数乘以100得

(1)式再减去此混循环小数乘以10得

(2)式，

(1)式

(2)式可解。解：将上两式相减得例5把化成分数。分析：此题为混纯循环小数，循环节为两位，小数点后有3位，可将循环小数乘以1000得

(1)式，此混循环小数乘以10得

(2)式，

(1)式

(2)式可解。解：将上两式相减得小结：从例题

2、例题3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。例如：，从例题

4、例题5可以总结出将混循化小数化为分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循化节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。例如：，，

四、循环小数与分数的综合运算：例6计算下列各式：

(1)；

(2)解：

(1)=

(2)=第五讲分数的应用

一、知识要点：常见的分数应用题分为三类：

(1)求一个数是另一个数的几分之几？

用除法

(2)求一个数的几分之几是多少？

用乘法

(3)已知一个数的几分之几是多少，求这个数。用除法(量率对应法)解答分数应用题的关键：

(1)找准单位“1”；

(2)找准“量”与“分率”的对应；

(3)列式计算，遵循的关系式：

(4)如果当单位“1”的量未知，且分率关系复杂时，上述关系式将演变为：具体数量对应分率=单位“1”的量“量率对应法”。(“对应”指同一事物，两种身份；我们常从含义、作用上寻求对应，再予以算式表达。)

二、分数应用题的求解：

1、求一个数是另一个数的几分之几？

例1学校阅览室有图书100本，借出一些后，还剩60本，借出的是剩下的几分之几？

解：

(1)借出多少本？

100-60=40(本)

(2)借出的是剩下的几分之几？

4060=答：借出的是剩下的。例2甲、乙、丙三个数，其中甲是乙的2倍，是丙的3倍，那么丙是乙的几分之几？

解：把甲看作单位1，则乙是；丙是，因此丙是乙的答：丙是乙的。

2、求一个数的几分之几是多少？

例3某种商品原价是64元，降了两次价，每次都是降价10%，现价是多少？

解：第一次降价10%，商品的价格只有原来的1-10%=90%，即第一次降价后的价格是64(1-10%)=6490%=

5.76(元)第二次降价10%，商品的价格只有第一次降价后的1-10%=90%，即第二次降价后的价格是

5.76(1-10%)=

5.7690%=

5.184(元)答：第二次降价后的价格是

5.184元。

3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。例4小明看一本书，每天看15页，4天后还剩下全书的没有看，问这本书共有多少页？

解：小明已看的页数是多少本？

154=60(本)已看的页数是全书的几分之几？

这本书一共有多少页？

(一个数的是60，求这个数，用除法)(页)答：这本书一共有150页。

4、求一个数比另一个数多(或)少几分之几？

例58比7多几分之几？

7比8少几分之几？

分析：一个数比另一个数多(或少)几分之几，就用多(或少)的部分除以另一个数(“比”字后面的那个数)解：

(1)8比7多几分之几？

(2)7比8少几分之几？

答：8比7多，7比8少。

5、分数的综合运用。例6某班女生比男生多3人，男生比女生少，这个班共有多少人？

解：把女生人数看作单位1，男生比女生少，是少了3人，所以女生的人数是(人)男生人数是：24-3=21(人)全班人数是：24+21=45(人)答：这个班共有45人。例7小光买了一袋巧克力，第一天吃了，第二天吃了剩下的，第三天吃了第二天吃剩下的，这时还余下8块巧克力。问原来一袋共有多少块巧克力？

解：把一袋巧克力看作单位1，第一天吃了总数的；第二天吃了总数的第三天吃了总数的还剩下总数的原来一袋共有巧克力：(块)答：原来一袋共有27块巧克力。例8有一堆砖头，先搬走它的，然后又运来308块，这时砖头总数比原来还多出。那么原有砖头多少块？

解：把原有砖头的总数看作单位1；具体数量308块的含义是“运来的砖头”，因此对应着“运来的分率”，而“运来的分率”在已知中起了两个作用：一是“补缺”的，二是“多出”的。因此表示单位“1”的原有砖头总数为：308=528(块)答：原来有528块砖头。例9学校把植树任务分给三六年级，三年级植树是

四、

五、六年级植树总数的，四年级植树是

三、

五、六年级植树总数的，五年级植树是另外三个年级总数的，六年级植树50棵，四个年级共植树多少棵？

解：转化单位“1”，三年级植树占四个年级总数的；四年级植树占四个年级总数的；五年级植树占四个年级总数的；求四个年级共植树的棵数用除法。(棵)答：四个年级共植树140棵。第六讲分数小数的综合计算

一、知识导航：分数计算常常要与整数、小数的计算混合在一起，变成整数、小数、分数混合四则运算，其运算顺序与整数混合运算顺序是一样的。在运算过程中要充分利用分数与小数的互化、凑整、运算定律、设元助解、添项法等技巧使运算简化。

二、计算方法与技巧：

1、分数与小数互化。在有关分数的加、减、乘、除法中，根据题目特点，将小数、分数进行互化，便于计算。常见的一些小数与分数互化有：等例1计算：解：原式例2解：原式

2、使用运算定律。恰当运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法分配律，也会使运算再简便。例3解：原式=试一试计算下面这道题：例4解：原式=8

3、扩大与缩小。根据和(商)不变性质，扩大(缩小)一些数，便于简化计算。例5解：原式=3

4、整体把握设元助解。在整个运算式子中，将某些相同部分设字母代替，可减少许多不必要的繁杂重复计算，从而达到简化运算的目的。例6解：设，原式=====

5、添项法。例7解：原式=原式中由于，，因此，原式可变为=

6、其他情况。有许多分数计算，要根据题目中数字特殊性，选择适当的方法，进行计算。例8解：原式=例92004减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的，最后减去剩下的。最后剩下的数是多少？

解：=1