泄洪设施修建计划

摘要针对本题提出的如何修建泄洪河道使总费用最省以及维护人员在各村留宿的概率的问题，分别建立了非线性规划模型、马氏链模型，并运用matlab和lingo数学软件，对模型进行求解，得出修建河道的最省方案和维护人员在各村留宿的概率。最后还对原来建立的模型进行了评价，并加以推广。在考虑修建的泄洪道路径和泄洪量的情况下，得到修建泄洪道的最省花费的01变量线性规划模型马氏链模型matlab

一、问题重述位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害，以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。___年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅更粮无收，而且严重危重到当地群众的生命财产安全。为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为2p=3h/Q（万兀）其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示新泄洪河道的长度（公里）。该乡共有10个村，分别标记为lJQ（万元），由此可知费用与新泄洪河道的可泄洪量Q和泄洪河道的长3度L有关，要使费用P最小，即泄洪量Q尽量的小，且泄洪河道的长度L尽量的短。对于此，可以运用010的海拔高度自西向东递减。

2、A900)。L:各段主泄洪道的长度。Qj:各村的泄洪量。Lj:各村到主泄洪道的泄洪道长度。

五、模型的建立与求解5.1:根据表1数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量最省。根据表1数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量最省。其中为了表述的方便将村庄做如下编号即：325XXXX1048于是，表一数据整理为：表XXXXXX62XXX12822XXX7179XXXX110XXXX7184XXXX1196为使费用最小，依据题意引入XXX;0(1;i;j;10)i100j=1由lingo软件可以得到(程序见附录1):_23=1_35=1_56=1_46=1,_19=1_79=1,_9,10=1_6,10=1,_8,10=1则：Q21=100,Qi3=于Q37=300,Q97=100,Q78=500,Q58=300,Qi0,8=100,Q45=100,Q65=100L21=7,L13=4,L37=7,L97=6,L786,Lio,8=11,L45=4,L65=8由此可绘出下图:3图1,各村之间互通的新泄洪河道网络可得出最小费用为：minp=547.0804万元5.2.1:维护人员的转移路线就是问题一中建立的新泄洪河道网络。为求维护人员在各村留宿的概率分布以及是否稳定，建立马氏链模型。由问题一得出的新泄洪河道修建方案可知转移概率矩阵为：01/于001/于XXX/300001/30000000XXX/于000001/301/3010XXX/31/300XXX/XXX/301/300XXXX0001由马氏链的性质可知：_n书的取值只取决于_n的取值及转移概率，而与_n,_n,的取值无关。由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为10ai(n+1)=￡aj(n)P/，i=1,2，10j1并且10d(n)=1,n=0,1,2,|i410ZP=1,j=1,2,111,10j3则状态概率向量（行向量）和转移概率矩阵an=;nan,川，“0n011/于00I001/于XXX/于001/30XXX/300XXX0101/3XXX/30XXX/于01/310XXXX0001/301/3001XXX/30000XXX/300则基本方程

(1)可以表示为a(n1)=anP由该递推关系式还可以得到a(n)=a0Pn5.2.3判断该马氏链是否是正则链正则链的定义为：一个有k个状态的马氏链如果存在正整数状态i经N次转移，都以大于零的概率到达状态j（i,j=1,2,，k）,则这样的马氏链称为正则链。因为修建的新泄洪河道网络连接着这十个村，当维护人员沿着新泄洪河道网络转移时，每个村都有可能到达。即假设维护人员在村i,一定可以经过正整数N次转移到任意村j（i#j）,即都以大于零的概率到达状态j。由正则链的定义可以知道，本问题中建立的马氏链模型是正则链。5.2.4求解极限状态概率由定理可知，正则链存在唯一的极限状态频率w=（W1,w2，,wk）,使得当nT8时状态概率a（nHw,w与初始状态概率a（0）无关。w满足wP=wk'、Wi=1i1所以，长此以往，维护人员在各村留宿的概率就是极限状态频率W=(Wi,W2,.,W9,Wi0),则由正则链的性质可知，维护人员在各村留宿的概率是稳定的。由式可得：Wi,W2,.,W9,Wi0P=Wi,W2,.,W9,Wi010“Wi=ii4联立可解得极限状态概率为(matlab程序见附录2)：w=XXX.0556XXX.05560.i6670.05560.i6670.i6670.05560.0556表3即可得维护人员随机在各村留宿的稳态概率WiW2W3W4W51/91/181/91/183/18W6W7W8W9W101/183/183/181/181/185.3:由于该乡地势由西向东逐渐降低。且各村庄由西向东分布。故可以在其中问人口分布密度较少区建一由西向东的主泄洪道。泄洪道泄洪量依次递增。从i00900。目标函数：minp=;2/XXX;2/XXX

六、模型的评价和优化模型的优点：

1、用0sui(cun(j)|j#lt#i:q(j,i)__(j,i)=100;);for(cun(i)|i#ne#10:su(cun(j)|i#lt#j:_(i,j)=1);!for(cun(i)|i#eq#10:sum(cun(j)|j#lt#i:_(j,i)=1);End附录2functionmain()clcp=01/于XXXXXXX0001/于001/于XXX0000001/301/301/300XXX000001/300001/31/XXX/301/3001/30000XXXX0100XXXX00100;A=ones(10,1),zeros(10,9);B=p-eye

(10)+A;W=100XXXX0000_inv(B);W