数列求与方法归纳

数列求和

一、直接求和法(或公式法)掌握一些常见的数列的前n项和：123+n=n(n1)，1+3+5+(2n-1)=n22+n2=n(n1)(2n1)，n(n1)2122XXXX2333+n3=等.62例1求122XXXX262XXXX1002解：原式(2212)(4232)(6252)(XXX)XXX由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502变式练习：已知log3_1，求__2_

XXX.的前n项和.log231n解：12

二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2求212XXXX2102的和102XXXX210XXXX2131解：设S12XXXXXX则SXXX322XXXX2181两式相加，得2S11110S5

三、裂项相消法常见的拆项公式有：11(11)，11(nkn)，n(nk)knnknknk(2n11)1(1111)，等.1)(2n22n2n1/7例3已知1222n21n(n1)(2n1)，6求3572n112XXXX223XXXX1222n2(nN)的和解：an2n12n16，1222n21n(nn(n1)(2n1)1)6SnXXXnn

161XXXX1223nn1611n1ln.n1小结：如果数列an的通项公式很容易表示成另一个数列bn的相邻两项的差，即anbn1bn，则有Snbn1b

1.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列1，1，1，，1，的前n项和S.132435n(n2)解：12)=1(11)n(n2nn2n1(11(111XXXX1311S=2)()=

=324nn222n1n242n22n4

四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如anbn的数列，其中an为等差数列，bn为等比数列，均可用此法.例4求_3_25_3(2n1)_n的和解：当_1时，Sn1_2_2(1_n1)(2n1)_n1；当_1时，Snn2_(1_)21_小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.2/7变式练习：求数列a,2a234n(a为常数)的前n项和。,3a,4a,na,解：

若a=0,则Sn=0()若则n+n=n(n1)2a=1,S=1+2+3+2

若a0且a1则Sn234n，n234n+1=a+2a+3a+4a+naaS=an1a+2a+3a+na(1-a)Sn23nn+1anan1+a-na=a+a+a+1aaan1nan1Sn1)当a=0时，此式也成立。=(1a)21(aan(n1)(a1)Sn=21n1aan2na(a1)(11a)a

五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例5求数列21，41，61，，2n1n1，的前n项和Sn48162Sn(2462n)1111n(n1)112XXXX3242n122n1变式练习：求数列11,21,31,41,的前n项和392781解：n2n11223n数列求和基础训练

1.等比数列an的前项和2，则22224n1Sa1a2a3an

3.2设Sn135

n(2n1)，则Sn

nn.

3.114417(3n2)1(3n1)3n

1.n

4.

1.11=111XXXX3546(n1)(n3)223n2n

3.5数列1,(12),(1222),(12222n1),的通项公式an2n1，前n项和Sn2n1n23/71352n132n

3.6,,;的前n项和为Snn222232n2数列求和提高训练1数列an满足：a11，且对任意的m，nN_都有：amnamanmn，则1111(A)a1a2a3a于A4016B于C于D__于1004于解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用叠加法得到：ann(n1)，122(11)，2ann(n1)nn111112(111111)2(11)4016a1a2a3a于223____nn1的等差数列，若其首项满足1b15，a1b1，且a1，2数列a、b都是公差为ab1N_，则数列abn前10项的和等于(B)A100B85C70D55解：ana1n1，bnb1n1abna1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3则数列ab也是等差数列，并且前10项和等于：XXX答案：B.n23设m=12+23+34++(n-1)n，则m等于(A)A.n(n21)B.1n(n+4)C.1n(n+5)D.1n(n+7)32223解：因为an=n2-n.，则依据分组集合即得.答案;A.若nn-1n，则S173350等于(A)4S=1-2+3-4++(-1)+SA.1B.-1C.0D.2n1为奇)2(n解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=答案：An(n为偶)4/75设an为等比数列,bn为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列cn是1,1,2,,则cn的前10项和为(A)A.978B.557C.467D.979qd1解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则2d2q2q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=

9.78答案：A

6.若数列n的通项公式是n

n，则1a2a10(A)aa(3n2)aA15B.12C12D.15解析A设bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)

5.3157一个有于项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为解：设此数列an,其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5++a于=1001a1001,S偶=a2+a4+a6++a于=1000a100

1.答案:100XXXX0008若12+22++(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.解：原式=(n1)n(2n1)2n33n2n.答案：1;1;166326n11，公差d0，且其

第二项、

第五项、

第十四项分别9已知等差数列a的首项a求数列n与n的通项公式；是等比数列bn的

第二、三、四项

ab

设数列cn对任意自然数n均有c1c2c3cnan1成立b1b2b3bn求c1c2c3c于的值解：

由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)n1解得d2，an2n1，可得bn3

当n1时，c13；当n2时，由cnan1an，得cn23n1，bn3(n1),故c1c2c3c于323XXXX3223于3于故cn1(n23n2).

10.设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列Sn的前n项和，求Tn.n解析设等差数列an1，公差为d，则Snna1177，S1575，的首项为a2n(n1)d.S7a121d7，a13d1，12，Sn11a15a1105d75，即a17d5，解得na12(n1)d22(nd

1.1)Sn1n数列Sn是首项为2，公差为1的等差数列29n.S1，Tn1nn1n2n244已知数列n的首项12，an12an

1.1aa3an

证明：数列11是等比数列；

求数列n的前n项和XXX解析

an12an，1an111，111112，2an，又a1an1an12an22anan131XXXX1110，110，an11，数列1是以1为首项，1为公比的等比数a12an12an22an11n1n11nn123n1111即

由

知an222nn23nan21an2n.设Tn22

2.2则112n1n1，11111nTn2223nn得Tn2223nn122XXXX1122nn1n1n2nnn11n，T2n2n.又123n2，112n122n1n2n1222nnnn1n2n4n22数列an的前n项和Sn22n222n.6/77/