圆锥曲线知识点总结例题分析和基础练习.docx

锥曲线椭圆知识点小结

椭圆：(1)椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。则ABF2的周长=22

2)设椭圆_2y21（ab0）左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线交a2b2椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ|注意：2a|F1F2|表示椭圆；2a|F1F2|表示线段F1F2；2a|F1F2|没有轨迹；中心在原点，焦点在_轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程22_2y21(ab0)ab22y2_21(ab0)a2b2图形PyA1B2A2_AP1yBOF11A2_A1F1OB1F2A2顶点A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(b,0),A2(b,0)B1(0,a),B2(0,a)对称轴_轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c(c0)c2a2b2离心率ec（0e1）（离心率越大，椭圆越扁）a通径2b（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）a2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：223常用结论：(1)椭圆_2y21（ab0）的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两点，a2b2例题分析（求椭圆的标准方程一定要注意焦点的位置，先根据焦点的位置确定方程的形式，在根据c2a2b2及已知条件确定、的值，进而写出方程）（要求掌握椭圆的简单几何性质，因此要准确把握和灵活应用这些性质来解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题型，必须熟练地掌握）（焦点三角形面积问题是解析几何中一种常见的问题，改变一下问题的结构形式，将其设计成一个条件开放性问题，思考与训练的价值是非常大的，本题难点之一是确定焦点所在位置，考察了分类讨论的思想）课堂巩固练习

.已知椭圆7_216y21120一点P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为。222若椭圆_y1的离心率e10，则m值。5m5223（书本P28习题3改编）已知F1,F2为椭圆_2y21（ab0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦abAB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e3，则椭圆的方程为。2224椭圆_y=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M123的纵坐标是。22_y5在平面直角坐标系_Oy中，设椭圆a2b21（ab0）的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点Pac，0所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为226以椭圆_2y21(ab0)的左焦点F(c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的ab两点，则该椭圆的离心率的取值范围是7已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。228椭圆_y1的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求P点横坐标的94取值范围。9（书本P297改编）已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为22的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。10在平面直角坐标系_Oy中，矩形OABC的边OA、OC分别在_轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a 1（a1），点D在边OA上，满足OD=a.分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD.直线l：y=_ b与椭圆弧相切，与OA交于点E.

1)求证：b2a21；

2)设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；

3)在

2)的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程参考答案

.已知椭圆7_216y21120一点P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为42若椭圆_5ym1的离心率e510，则m值m3或m2353书本P28习题3改编)已知F1,F2为椭圆22a_22by221(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦22AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e23，则椭圆的方程为1_6y41224椭圆_y=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M123的纵坐标是3。4225若抛物线y22p_的焦点与椭圆_y1的右焦点重合，则p的值为4。62226以椭圆_2y21(ab0)的左焦点F(c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的ab两点，则该椭圆的离心率的取值范围是(2,1)。27(书本P32练习5改编)已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。解：由题意设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c(ab0,c0)2ca23,b32222椭圆的标准方程为_y1或_y112XXXX2228椭圆_9y41的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求P点横坐标的取值范围5解：由题意得a3，c5，P(_,y)d1_-(-a),PF1cd1e5设P到左焦点F1的距离为d1，P到右焦点F2的距离为d2，3ec,|PF1|ae_a同理得|PF2|ae_又F1PF2为钝角PF12PF22F1F222PF1PF2cosF1PF209（书本P297改编）已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为22的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线解：以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为_轴建立平面直角坐标系（如图），则A（1,0），B（1,.设M（_,y）,由题意，得|MP||MA|,|BP|22，|MB| |MA|22曲线C是以A、B为焦点，长轴长为其方程为_22y2210在平面直角坐标系_Oy中，矩形OABC的边OA、OC分别在_轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a 1（a1），点D在边OA上，满足OD=a.分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD.直线l：y=_ b与椭圆弧相切，与OA交于点E.

1)求证：b2a21；

2)设直线l将矩形OABC分成面积相等的两求直线l的方程；

3)在

2)的条件下，设圆M在矩形及其内且与l和线段EA都相切，求面积最大的的方程2解：设椭圆的方程为_22y

.1a_2y21,由a2y1,消去y得(1a2)_22a2b_a2(b21).由于直线l与椭圆相切，故y_b(2a2b)24a2(1a2)(b21)0，化简得b2a

.1

2)由题意知A(a1，0)，B(a1，1)，C(0，1)，于是OB的中点为a21,

.2因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点a21,12，即12(a21)b，亦即2ba

.由解得a34,b35，故直线l的方程为y_

.5

3)由

2)知E53,0,A37,.因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为10r12,(0)2(yr)2r2(r.因为圆M在矩形及其内部，所以_05,03_0r

.3圆M与l相切，且圆M在l上方，所以3(_0r)5r，即3(_0r)532r.3202,代入得5

21)r5,即0r

.333532r7,33,所以圆M面积最大时，r32，这时，_0

.3233双曲线知识点小结：(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（2a|F1F2|）表示双曲线的一支。2a|F1F2|表示两条射线；2a|F1F2|没有轨迹；2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在_轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程22_y221(a0,b0)ab图形A1(a,0),A2(a,0)B1(0,a),B2(0,a)22y2_21(a0,b0)顶点对称轴_轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c(c0)22a2b2离心率ec(e1)a离心率越大，开口越大）2b2a_b求双曲线_2y21的渐近线，可令其右边的22ab1为0，2即得_2a2b20式分解得到_y0。ab渐近线通径3）双曲线的渐近线：_222ab22与双曲线_2y21共渐近线的双曲线系方程是a2b2

4)常用结论：（221）双曲线a_2by21（a0,b0）的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的4）等轴双曲线为_2y2t2，其离心率为2同一支于A,B两点，则ABF2的周长=22顶点对称轴焦点l图形yP_轴F(2p,0)F(2p,0)F(0,2p)y轴F(0,2p)离心率e1准线_p2y2ppy2通径2p

2)设双曲线_2y21（a0,b0）左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线a2b2交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ|抛物线知识点小结：1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。焦半径|PF||_0|p2|PF||y0|p2其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0焦点在_轴上，焦点在_轴上，焦点在y轴上，焦点在y轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下2y2p_2y2p22py_22py2）标准方程焦点弦焦准距

弦长公式：|AB|1k2|_1_2|1k2(_1_2)24_1_21k2|A|其中,A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于_的一元二次方程的判别式和_2的系数求弦长步骤：(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程；

2)联立两方程，消去y,得关于_BC的一元二次方程A_2B_C0,设A(_1,y1)，B(_2,y2)，由韦达定理求出_1_2B，_1_2C；AA

3)代入弦长公式计算。法

二)若是联立两方程，消去_,得关于y的一元二次方程Ay2ByC0,则相应的弦长公式是：|AB|1(k1)2|y1y2|1(k1)2(y1y2)24y1y21(k1)2|A|注意

1)上面用到了关系式|_1_2|(_1_2)4_1_212|A|y1y2(y1y2)24y1y2|A|注意

2)求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高(点到直线的距离)但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法

弦的中点坐标的求法法

一)：(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程；

2)联立两方程，消去y,得关于_的2B元二次方程A_2B_C0,设A(_1,y1)，B(_2,y2)，由韦达定理求出_1_2；

3)设Ayy0。中点M(_0,y0)，由中点坐标公式得_0_12_2；再把0代入直线方程求出法

二)：用点差法，设A(_1,y1)，B(_2,y2)，中点M(_0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出_0,y0。

求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法

建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线离心率取值范围是e1)