圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程1掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质的初步应用3有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现4求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势第1课时椭圆1椭圆的两种定义

(1)平面，之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在

(2)椭圆的第二定义：到的距离的距离之比是常数e，且定点F是椭圆的，定直线le的点的轨迹叫椭圆常数e是2椭圆的标准方程

(1)焦点在_轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：y2a圆锥曲线是高中数学的一个重要0，且a2=(2)焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是其中a，b满足：=1，3椭圆的几何性质(对_2a2 y2b2=1，ab0进行讨论)

(1)_y

(2)对称性：对称轴方；对称中心为(3)焦，长半轴短半轴长准线方程：e越接近

1，e

(4)离心率：e=)，e，；越接近0，椭圆越接近

(5)焦半径公式：设F

1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P(_0,y0)是椭圆上一点，则PF1=PF2=2a-PF1点P（3，4）在椭圆上，9b 2=12aa-

(6)椭圆的参数4焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1r22a

(2)余弦定理：r12r222r1r2cosq(2c)

(3)面积：SDPF1F2r1r2sinq2c|y0|(其中P(_0,y0)为椭圆上一点，|PF1|r

1，|PF2|r2，F1PF2q)例

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；

(2)两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点(-1212解得a245或a25又ac，a25舍去.故所求椭圆的方程为_2y2 =1.4520法二：利用PF1F2是直角三角形，求得c5(以下同方法一)

(2)由焦半径公式：|PF1|ae_3|PF2|ae_3125XXXX43212SDPF1F2|PF1|PF2|XXX,)；22_2y2变式训练2：已知P（_0,y0）是椭圆2 2=1（ab0）上的任ab意一点，F

1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F

1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1| |PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1| 2r=2a，即|PF1|=2（ar）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=(3)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程

(1)和椭圆1_2y2 =1共准线，且离心率为224XXXX0425和，过P

(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点例

2.点P(3,4)是椭圆_2a211|PF1|=2(a-r)=a-r.22故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

2例

3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F，过F1与抛物线y=-4_的焦点重合1的直线 y2b21(ab0)上的一点，F

1、F2是它的两焦点，若PF1PF2求：l与椭圆交A、B两点，与抛物线交C、D两点当直线l与_

(1)求椭圆的方程；

(2)求过点O、F左准线相切的圆的方程；

1，并且与椭圆的CDAB=(1)椭圆的方程；

(2)PF1F2的面积解：(1)法一：令F1(C，0)，F2(C，0)PF1PF2，kPF1kPF21即_2y2=1椭圆的方程为2 2aa-25244=-

1，解得c53 c3-cuuuuruuuur

(3)求F2AF2B的最大值和最小值解：(1)由抛物线方程，得焦点F1(-

1，0)_2y2设椭圆的方程：2 2=1(ab0)aby2=-4_解方程组得C（-

1，2），D（

1，-2）_=-1由于抛物线、椭圆都关于_轴对称，19所求圆的方程为(_ )2 (y2=.8分

(3)由点F,0),F2(

1，0)1(-1若AB垂直_轴，则A(-

1，22),B()，22|FC|CD|1|，A(

1，2分=|F1A|=22|F1A|AB|11222 =1又a-b1，22a2b11 =1，解得b2=1并推得a2=222b 12bF2A=(-2,uuuurruuuuF2B=(，22uuuuruuuur17F2AF2B=4-=9分22若AB与_轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(_ 1)因此，_22故椭圆的方程为 y=14分

(2)Qa1，c=1，y=k(_ 1)由2得(1 2k2)_2 4k2_ 2(k2-1)=02_ 2y-2=0QD=8k2 80，方程有两个不等的实数根设A(_

1，y1)，B(_2,y2).Q圆过点O、F

1，1圆心M在直线_=-上2设M(-4k22(k2-1)_1 _2=-,_1_2=11分221 2k1 2k

1，t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，2F2=(_1-

1，y1),F2=(_2-

1，y2)F2F2=(_1-1)(_2-1) y1y2=(_1-1)(_2-1) k2(_1 1)(_2 1)=(1 k)_1_2 (k-1)(_1 _2) 1 k222r=((-2)=1

3.23由OM=r,=,解得t=232(k2-1)4k22 (k-1)(-) 1 k2=(1 k)221 2k1 2k27k2-179==-2222(1 2k)1 2kk20,1 2k

1，00，解得k.2满足条件的k的取值范围为k（-,77F2F2-

1，，所以当直线l垂_轴时，F2F2取得最大值22当直线l与_轴重合时，F2F2取得最小值-1变式训练3：在平面直角坐标系_Oy中，已知点A(-

1，0)、B(

1，0),动点C满足条件：ABC的周长为2记动点C的轨迹为曲线W.

(1)求W的方程；

(2)经过点（0,2）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；U )uuuruuur

(3)设P（_

1，y1）,Q(_2,y2),则OP OQ（_1 _2，y1 y2),由得_1 _2=.又y1 y2=k(_1 _2) uuuur因为M)，N(0,1)，所以MN=(1).uuuuruuuruuur所以OP OQ与MN共线等价_1 _2y.1 y2)uuuruuur

(3)已知点M，0），N（0,1），在的条件下，是否存在常数k，使得向量OP OQuuuur与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：设C（_,y）,AC BCAB=2 AB=2,AC BC=2,由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与_轴的两个交点.将代入上式，解得XXX所以不存在常数k，使得向量OP OQ与MN共线.例

4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在_轴上，离心两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为F，过左准线与_轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交ac=1.b=a-c=1.不同的两点A、B，点A关于_轴的对称点为C.2W:_ y2=1(y0).2

(1)求椭圆W的方程；2_

(2)设直线l的方程为y=k_圆方程，得 (k_2=1.2uuuruuur

(2)求证：CF=lFB(lR)；

(3)求DMBC面积S的最大值.4_2y2解：(1)设椭圆W的方程为2 2=1，由题意可知abc=a222a=b c,解得a2，b=2a2=6,c又因为(_1 2)y2-(_2 2)(-y1)=(_1 2)k(_2 3) (_2 2)k(_1 3)=k2_1_2 5(_1 _2) 1254k290k2=k 12221 3k1 3kk(54k290k2 12 36k2)=0，21 3kuuuruuur所以CF=lFB10分_2y2所以椭圆W的方程为 =162a

(2)解法1：因为左准线方程为_=3，所以点Mc的方程为y=k(_ 3)a2=-3，所以点M坐标为(-3,0).解法2：因为左准线方程为_=-c是可设直线l的方程为y=k(_ 3)，点A，B的坐标分别为(_

1，y1)，(_2,y2),则点C的坐标为(_

1，-y1)，y1=k(_1 3)，y2=k(_2 3)由椭圆的第二定义可得y=k(_ 3),2得(1 3k2)_2 18k2_ 27k2-6=XXX 62由直线l与椭圆W交A、B两点，可知D=(18k2)2-4(1 3k2)(27k2-6)0，解得k2设点A，B的坐标分别为(_

1，y1)，(_2,y2),则_1 _2=23|FB|_2 3|y2|,=|FC|_1 3|y1|uuuruuur所以B，F，C三点共线，即CF=lFB10分

(3)由题意知-18k27k-6__=，y1=k(_1 3)，y2121 3k21 3k222S=11|MF|y1| |MF|y2|221|MF|y1 y2|21|k(_1 _2) 6k|2因为F(-2,0)，C(_

1，-y1)，uuuruuur所以FC=(_1 2,-y1)，FB=(_2 2,y2).5=1双曲线的两种定义

(1)平面常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线注：当2a|F1F2|时，p2a|F1F2|时，p点轨迹不存在

(2)平面时动点P的轨迹是双曲线设P到F1的对应准线的距离为d，到F2对应的准线的距离为d2，则2双曲线的标准方程

(1)标准方程：(6)具有相同渐近线y=_的双曲线系方程为(7)的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐，离心率为(8)_2a2-y2b2=1的共轭双曲线方程为baPF1d1=PF2d2=e例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程

(1)中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是

(2)与双曲线_22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)解：(1)顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为y2a2_2a-y2b=1，焦点在轴上；y2a-_2b-_2b2=1a1，焦点在轴上其中：a0，又e=1.5c=ae=b

1.5=9y2_2故所求的双曲线方程为-=13645b0，a=(2)双曲线的标准方程的统一形式：m_2 ny2=1(nm0,b0进行讨论)

(2)令与双曲线_2y2有公共渐近线的双曲线为_2yk双曲线过M（2，2）424k得k4y2_2_2y4即-=124222

(1)范围：_，y

(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为(3)焦点坐实轴长为虚轴长为，准线方程为，渐近线方程为(4)离心率e，且e，e越大，双曲线e越小，双曲线开口越，焦准距P

(5)焦半径公式，设F

1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若P(_0,y0)是双曲线右支上任意一点，PF1=PF2=P(_0,y0)是双曲线左支上任意一点，PF1=PF2=变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。_2y2-=1有共同渐近线，且过点（-3，2）

(1)与双曲线；916_2y2-=1有公共焦点，且过点（3，2）

(2)与双曲线164_2y24-=1的渐近线为y=_解：法一：(1)双曲线91634令_=-3，y=4，因230y2_2-=(1)设双曲线方程为4 k016-k4 k

(3)222-=116-k4 k8252(y-55)2-=(1)25122bb（负值舍去）.代入方解方程组由方程

(2)得y=221213-y=(2)122b25b-55)22252程

(1)得化简得19b 275b18150=(3)-=1，2212b(_2y2-=1.解方程

(3)得b25(m).所以所求双曲线方程为：144625变式训练2：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.

(1)爆炸点应在什么样的曲线上？

(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340，求曲线的方程.解

(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

(2)如图814，建立直角坐标系_Oy，使A、B两点在_轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（_,y），则-PB=3402=680,即2a=680,a=340.又=800,2c=800,c=400,b2=c2a2=XXX,22a=1，

(1)解：依题意有：ca2 b2=c2,解得a2=1，b2=3.y2可得双曲线方程为_-=1.32_2y2=680f0,_0.所求双曲线的方程为：115XXXX4400(_0).1例

XXX中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BC=4，且sinC-sinB=sinA，求顶

(2)解：设M(_0,y0),由双曲线的对称性,可得N(-_0,-y0).设P(_P,yP),则kPMkPN222yP-y0yP y0yP-y0=2.2_P-_0_P _0_P-_0点A的轨迹方程解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为_轴，建立直角坐标系，因为BC=4，所以B(-2,0)，c(2,0)利用正弦定理，从条件得c-b2，即AB-AC=2由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23的双曲线右支，y2=1(_1)点(

1，0)除外，即轨迹方程为_-32122y0又_-=1，322所以y0=3_0-3,22同理yP=3_P-3,所以kPMkPN223_P3_0 3=3.22_P-_0_2y2变式训练3：已知双曲线2-2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=_，两条ab准线的距离为l.

(1)求双曲线的方程；

(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值._2-y2=1的左、右顶点分别为A

1、A2，垂直_轴的直线m与双曲例

4.设双曲线C：2线C交不同的两点P、Q。

(1)若直线m与_轴正半轴的交点为T，且A1A2=1，求点T的坐标；

(2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

(3)过点F（

1，0）作直线l与中的轨迹E交不同的两点A、B，设=l，9若l

1，求| |（T为中的点）的取值范围。解：(1)由题，得A1(-2,0),A2(2,0)，设P(_0,y0),Q(_0,-y0)则A1P=(_0 2,y0),A2Q=(_0y0).由A1A2=1_2=1，即_-y=3.2_02又P(_0,y0)在双曲线上，则-y0=1.2_2故可设直线l的方程为_=ky 1，代入 y2=1中，得2(k2 2)y2 4ky 2=0.设A(_

1，y1),B(_2,y2),y10且y20则由根与系数的关系，得y1 y2=-22kk 2y1y2=-联立、，解得_0=2由题意，_00,_0=2.点T的坐标为（2，0）3分

(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（_，y）由A

1、P、M三点共线，得

2.2分2k 2=l有y1=l，且l0,b0)ab24-3k0由，可得2D=488k 160217a2 b272Qe=,e=,即=,2333a2b42=,3a3636又P（6,6）在双曲线C上，2-2=1ab由、解得a=9,b=2.1122解得-46 446-42k0)，则焦点是F(-,0)21抛物线定义：平面和距离的点的轨迹叫抛物线，点A(3，n)在抛物线上，且|AF|5叫抛物线的焦点，叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一n2=6P条直线)故解得P4，n=26p222抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程(-3 ) n=5y=2p_故所求抛物线方程为y2=-8_,n=26y2=-2p_，焦点为，准线为_2=2py_2=-2py3抛物线的几何性质：对y2=2p_(p0)进行讨论点的范围：、对称性：抛物线关于轴对称离心率e=焦半径公式：设F是抛物线的焦点，P(_o,yo)是抛物线上一点，则PF=焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i)若A(_

1，y1)，B(_2,y2)，则AB，y1y2ii)若AB所在直线的倾斜角为q(q0)则AB1222变式训练1：求顶点在原点，对称轴是_轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程解：因为对称轴是_轴，可设抛物线方程为y2=2p_或y2=-2p_(p0)=6，p12故抛物线方程为y2=24_或y2=-24_例

2.已知抛物线C：y2=4_的焦点为F，过点F的直线l与C相交A、B

(1)若AB=16，求直线l的方程3p

(2)求AB的最小值解：(1)解法一：设直线l的方程为：_ my-1=0代入y2=4_整理得，y2 4my-4=0设A(_

1，y1),B(_2,y2)则y

1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1 y2=-4m根据抛物线的定义知：|AB|_1 _2 2(1-my1) (1-my2) 2=4(m2 1)1616若|AB|=，则4(m2 1)=,m=333过P作PQ垂直准线Q点，由抛物线定义得|PQ|PF|，|PF|PA|PA|PQ|要使|PA|PQ|最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直准线，AQ与抛物线的交点为P点从而|PA|PF|的最小值为3 此时P的坐标为(2，2)变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是_2=2y(0y20)，在杯。解：0r1例

4.设A(_

1，y1)，B(_2，y2)，两点在抛物线y2_2上，l是AB的垂直平分线

(1)当且仅当_1_2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？

(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围解：(1)Fl|FA|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是_轴的平行线，y10，y20，依题意y

1，y2不同时为0上述条件等价2y1y2_12=_2(_1_2)(_1_2)017=22即直线l有两条，其方程分别为：_ y-1=0,_1=0332P3(为AB的倾斜角)易知sin，2sinq2解法二：由抛物线的焦点弦长公式|AB|即直线AB的斜率ktan3，故所求直线方程为：_ 3y-1=0或_1=0.33_1_2_1_20即当且仅当_1_20时，l过抛物线的焦点F

(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2_b，过点A、B的直线方程可写为y_m1

(2)由

(1)知，|AB|=4(m2 1)4当且仅当m=0时，|AB|有最小值4解法二：由

(1)知|AB|2P422sinqsinq所以_

1、_2满足方程：2_2_m0且_1_2，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以8m0，即m设AB之中点为N(_0，y0)，则_0y0_0m由Nl得：是b121m16_1 _21=-281XXXX4132|AB|min4(此时sin

1，90)2变式训练2：过抛物线y4_的焦点作一条直线与抛物线相交A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线A有且仅有一条B有且仅有两条C有无数条D不存在解：B例

3.若A(3，2)，F为抛物线y2=2_的焦点，P为抛物线上任意一点，求PF PA的最小值及取得最小值时的P的坐标解：抛物线y2=2_的准线方程为_=-131211mbXXXm323XXXX6169，)32即l在y轴上截距的取值范围是(变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y_4上，另外两顶点C、D在抛物线y_上，求正方形的面积设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)(y1y2)，则直线CD的斜率为1y1-y2y1-y22221

1，即y1y21y1 y2B(_2，y2),直线AB的斜率为k，则：AB=或：利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算3中点弦问题：设A(_

1，y1)，B(_2，y2)是椭圆_2y2 =1上不同的两点，且_1_2，_1_20，M(_0，y0)为a2b2又|CD| k2|_1-_2|2|y1-y2|2(y1y2)|BC|y-y1 4|221=y-y1 4221(y12y14恒正)2y12-y2 4_12y12 =1a2b2y1-y2y1 y2AB的中点，则2两式相减可得2_1-_2_1 _2_y2 2=1a2b2=-b2a2由|CD|BC|，有2(y1y2)解、得y12或y132当y12时，有|BC|32，此时SABCD18当y13时，有|BC|52，此时SABCD50正方形的面积为18或50要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法2利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化3涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦X定理，能避免求交点坐标的复杂运算