北师大八下知识点总结.docx

八年级下知识点汇总

第一章三角形的证明、公理

(1)三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

(4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或AAS”）。、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则ba2等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=180A

2、等腰三角形的判定

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.

三、等边三角形性质：(1)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。

(2)三线合一判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形

(3)：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

(一)、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

2、常用关系式：由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积二）、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。

(三)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

五、角的平分线及其性质与判定

1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、线段垂直平分线的性质与判定

1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

七、反证法

八、互逆命题、互逆定理

1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

第二章不等式不等式是指表示不等关系的式子。（比如ab，32）（通常用大于小于或者大于等于和小于等于连接）不等式的基本性质:性质1:如果ab,那么a cb c或者a-cb-c（不等式两边同时加上或减去一个数不等式不变号）性质2:如果ab,c0,那么acbc,如果ab,c0,那么acbc.（不等式两边同时乘以或者除以一个正数，不等式不变号；不等式两边同时乘以或者除以一个负数，不等式要变号）性质3:如果ab,bc,那么ac（不等式的传递性.性质4:如果ab0,cd0,那么acbd.性质

5.如果ab，cd，则a cb d想想ab，cd又会有什么结论？解一元一次不等式的一般方法顺序：(1)去分母（运用不等式性质

2、3）

(2)去括号（括号内每一项要变号）

(3)移项（运用不等式性质1）（移项需要变号）

(4)合并同类项。（同类项系数相加减字母不改变）

(5)将未知数的系数化为1（运用不等式性质

2、3）

(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集V不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式_-5-1的解集为_4；不等式_0的解集是所有非零实数。.一元一次不等式的解集将不等式化为a_b的形式

(1)若a0，则解集为_

(2)若a0，则解集为_V数轴：规定原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。V一元一次不等式组：(1)一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

(2)一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分（解集的交集），叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。V不等式解集的表示方法：(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用的不等式表达出来，例如：_-12的解集是_3。

(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。V一元一次不等式与一次函数的综合运用：一般先求出函数表达式，再化简不等式求解_解一元一次不等式组的步骤：(1)求出每个不等式的解集；

(2)求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）

(3)用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）_几种常见的不等式组的解集：(1)关于_不等式组_a_b的解集是：_b

(2)关于_不等式组_a_b的解集是：_a

(3)关于_不等式组_a_b的解集是：a_b

(4)关于_不等式组_a_b的解集是空集。

第三章图形的平移与旋转

一、平移

1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、旋转

1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

三、中心对称图形

1、定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、性质

(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

第四章因式分解因式分解（分解因式）Factorzaton，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3_2 _=_（-3_ 1）归纳方法：1、提公因式法。

2、公式法。

3、分组分解法。

4、十字相乘法。

5、双十字相乘法。

6、配方法。

7、拆项法。

8、待定系数法。

9、特殊值法。提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数(最大公因数)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“一”号时，多项式的各项都要变号。公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法平方差公式:(a b)(a-b)=a2-b2反过来为a2-b2=(a b)(a-b)完全平方公式：(a b)2=a2 2ab b2反过来为a2 2ab b2=(a b)2(a-b)2=a2-2ab b2a2-2ab b2=(a-b)2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。两根式：a_2 b_ c=a(_-(-b (b2-4aca)(_-(-b-(b2-4aca)立方和公式：a3 b3=(a b)(a2-ab b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2 ab b2)；完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3V分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同

第五章分式分式形如，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fracton)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。注:分式的概念包括3个方面：分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去，这种变形称为约分。分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.

(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.

2.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的四则运算

1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：=a

2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：=adcd

3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：_=ad

4.分式的除法法则：(1.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.=ac

(2.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:=_

第六章平行四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、平行四边形的面积S平行四边形=底边长高=ah

六、三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

七、有关四边形四边中点问题的知识点：(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

5.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）180名师整理精华知识点多边形的外角和：多边形的内角和为360。多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。