排列组合归纳总结.docx

n！(nm)！排列、组合及二项式定理

一、计数yi分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有Nm1+m2+mn种不同的方法2分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成

4.分类分步标准（分类就是一步到位，

(1)类与类之间要互斥；

(2)总数完整。分步是局部到位，

(1)按事件发生的连贯过程进行分步；2）步与步之间相互独立，互不干扰；

(3)保证连续性。排列与组合1排列

(1)排列定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

(2)排列数公式：AmnCmAm=n(n1)(n2)(nm1)nm或写成Amn.特殊:Ann=n!=n(n-1)!

(3)特征：有序且不重复

2.组合

(1)组合定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合m！(nm)！m！

(2)组合数公式：Cmnn！写成XXX(n1)(n2)(nm1)=或

(3)组合数的性质CmnCnnm；Cmn1CmnCmn

(4)特征：有序且不重复

3.排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排

4.基本原则：(1)先特殊后一般；

(2)先选后排；

(3)先分类后分步。排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）

1.抽取问题：(1)关键：特殊优先；

(2)题型：把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Cmn把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（nm），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？Cn1隔板法

2.排序问题：特殊优先

(1)排队问题：A如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的对n个元素做不重复排序Ann;对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列Ann;mm位置固定）排列AnnAmAmKK;相邻问题捆绑法(注意松绑);不相邻问题:(a)一方不相邻先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;(b)互不相邻先排少的在插入多的;

(2)数字问题;各位相加为奇数的-奇数的个数是奇数;各位相加为偶数的-奇数的个数是偶数;组成n为偶数(奇数)的数-特殊优先法;能被n整除的数-特殊优先法;比某数大的数,比某数小的数或某数的位置-从大于(小于)开始排,再排等于;

(3)着色问题:区域优先-颜色就是分类点;颜色优先-区域就是分类点.

(4)几何问题:点、线、面的关系一般均为组合问题；图中有多少个矩形C62C42;从AA到B的最短距离C

(5)分组、分配问题：非均分不编号;n个不同元素分成m组，每组元素数目均不B相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽-CCn-m1m1m2nCm3nm

2.非均分编号;n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽n-m1CCm1m2nCm3nm

XXX均分不编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽n-m1CCm1m2nCm3nm

XXX均分编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽C(Cm1m2nn-m1Cm3nm

XXX)Amkm取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数

二、二项式定理

1.定理：(ab)nC0nanb0C1nan1bC2nan2b2CrnanrbrCnna0bn(r0,

1，2，n)

2.二项展开式的通项Tr1Crnanrbr，r0,

1，2，n，其中Crn叫做二项式系数

3.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C0nCnn，C1nCnn

1，CknCnnk，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数nC2nC，相等，且同时取得最大值Cnn-12nn+122各二项式系数的和aC0nC1nC2nCknCnn2n；1nnbC0nC2nC2rC1nC3nC2r12n2n

1.二项式定理的应用：1.求通项;Tr+1=Cran-rbrn

2.含_r的项：项的系数；二项式系数。

3.常数项（含_r的项中r=0）整数项（含_r的项中rN）有理项（含_r的项中rZ）无理项（含_r的项中rZ）

4.项的系数和：(1)已知多项式f(_)=(a+b_)n(a,b0)=a0+a1_+a2_2+an_n:a0=f（0）a0+a1+a2+an=f

(1)=(a+b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=f

(1)=(a+b)n;a0+a2+a4+=a1+a3+a5+=f

(1)+f(-1)2f

2;(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f

(1)f（-1）。

(2)已知多项式f(_)=(a-b_)n(a,b0)=a0+a1_+a2_2+an_n:a0=f（0）a0+a1+a2+an=f

(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=f(-1)=(a+b)n;a0+a2+a4+=a1+a3+a5+=f

(1)+f(-1)2f

2;(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f

(1)f（-1）。

(3)已知多项式f(_)=(a_-b)n(a,b0)=a0+a1_+a2_2+an_n:令g(_)=（-1）n(b-a_)na0=f（0）a0+a1+a2+an=f

(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=|(-1)n|g(-1)a0+a2+a4+=f

(1)+2f(-1);a1+a3+a5+=f

;2(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f

(1)f（-1）。

(4)已知多项式f(_)=(b)n(a,b0)=a0+a1_+a2_2+an_n:令g(_)=（-1）n(a_+b)na0=f（0）a0+a1+a2+an=f

(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=|(-1)n|g

(1)a0+a2+a4+=f

(1)+2f(-1);a1+a3+a5+=f

;2(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f

(1)f（-1）。

5.最值问题：二项式系数最大：（a）当n为偶数时，二项式系数中，C22最大；（b）当n为奇数时，二项式系数中，Cn-1和Cn-1最大nnn2n项的是系数最大：CrT=1表示第r+1项的系数Tr+1C个项都为正数时CT(a)CTr+2Cr+1TrCTr+1最大;Tr+1C一项为正一项为负时CT(b)CTr+3Cr+1Tr-1CTr+1最大