选修空间向量知识点归纳总结.docx

第二章空间向量与立体几何

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）OAuuuuuuuuurvuuuuuuOBOAABab；BAOA运算律：加法交换律:加法结合律：（ab）ca（bc）数乘分配律：（ab）ab

3.共线向量。

(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。当我们说向量a、b共线（或ab）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

(2)共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b工0）,ab存在实数入，使a=入b。

4.共面向量

(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量a,b共面的条件是存在实数_,y使p_ayb。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组_,y,z，使rr,rrp_aybzc。若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,C叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数_,y,z,使OP_C)AyOOBzOC。、A，在空间任取一点o作M-(两个向量的起点一定要相同)，贝y叫做向量与的夹角，记作正确b错误090平移前90叫吒1806=180

6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量

1.7空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O_yz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(_,y,z)，使OA_yzk，有序实数组(_,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O_yz中的坐标，记作A(_,y,z),_叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

(2)右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向_轴以90角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向

(3)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为,这个基底叫单位正交基底，用r，r，k表示。

(4)空间向量的直角坐标运算律：若rbrbrbrraG,a2,a3),b(add)，则(ab|,a2b2,a3d),r(ab,a2b2,a3d),a(a,a2,a3)(R)ab|a2b2a3b3，ab,a2b2,d(r)或aa2a3b2b3qba2fc2asd0。5abuuu若A(_,y,Z)，B(_2,y2,Z2)，贝UAB(_?一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

(5)模长公式：若a总耳),b贝U|a|aaa2a22a32,|b|XXX

(6)夹角公式：cos：abab_,y2y,z2z)。(b,b2,b3)，2b22b32ab玄2匕2玄3匕XXXa2a3bb2|a||b|.a2a22a32b

(7)两点间的距离公式：若A(_,y,zJ,B(_2,y2,Z2),LUHLUU2贝V|AB|AB,(_2或dA,B(y2z2222_)(y2y)(Z2z)，

(8)空间线段R(_,y，Z),P2(_2,y2，Z2)的中点M(_,y,z)的坐标:_1_22yy2zZ222

(9)球面方程：_2y2z2R

2.8空间向量的数量积。空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，贝UAOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定oa,b,显然有a,bb,a；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab。2

(2)向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：怡|。

(3)向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cos叫做b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b。

(4)空间向量数量积的性质：ae|a|cosa,e。ababo。苛aa=(a)2,a(a)2

(5)空间向量数量积运算律：(a)b(ab)a(b)。abba(交换律)。a(bC)abac(分配律)。

9、空间向量在立体几何证明中的应用：AB(a,a2,a3),CD(bdbs)01_ab1b2d

(2)证明ABCD,即证明ABCD

(3)证明Auuab,a2b2,a3b3或也就是证明a1ba2b2a3b30，即证明Ab垂直于平面的(1)证明AD,即证明AD,也就是证明0,平面)(或在面内)法向量或证明AB与平面内的基底共面；

(4)证明AB，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

(5)证明两平面(或两面重合)，即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面;

(6)证明两平面法向量在另一个面内,即证明两平面的法向量垂直或一个面的1.运用向量的坐标运算解题的步骤：(1)建坐标系，求相关点的坐标

(2)求相关向量的坐标

(3)运用向量运算解题

1.1用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：(1)两条直线的夹角：设直线l,m的方向向量分别为a,b，

(2)直线与平面的夹角:设直线的方向向量分别为a，平面的法向量分别为直线1与平面所成的角为(。-)s.

(3)二面角：0方向向量法:cos6cosn.r2cosO=-cos法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

1.2利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题

(1)点与直线的距离：dAPsn（先求cosAP,a）a

(2)点到平面的距离：喘|n|如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线，分析:过P作丄于O,连结.uuuuur则PO|PA|XXX,ruuuO丄，n，二PrnrPA,XXX.uuuuuur|PAn|PAPA,nu_!

(3)异面直线间的距离:nABdCDnb已知是异面直线为的公垂线n是直线CD的方向向量，,B分别在直线上nABdCD|n

(4)其它距离问题：平行线的距离（转化为点到直线的距离）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）

1.3补充：(1)三余弦定理设是a内的任一条直线，且丄，垂足为C又设与所成的角为1,与所成的角为2，与所成的角为.则coscos1cos2

(2)三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是B,则有.

XXX.112|180。

(12)（当且仅当90时等号成立.

(3)点Q到直线距离h

1.（|a|b|）2（ab）2uu|a（点P在直线上，直线的方向向量PA，uju向量PQ.

(4)异面直线上两点距离公式、hmnm2mncos22ulm,XXX,AFJh2m2n22mncos（EAAF）（两条异面直线a、b所成的角为B,其公垂线段aa的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,AEm,AFn,EFd.

(5)三个向量和的平方公式rrr2心心2rrrrrr（abc）abc2ab2bc2car2r2r2rrrrrr：rrrrrrabc2|a||b|cos；;a,b.2|b||c|cos：b,c2|c||a|cosc,a

(6)长度为丨的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为爪，夹角分别为1、2、3,则有l2；；cos21cos22cos231sn21sn22sn232（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）

(7)面积射影定理S旦cos.（平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为.

(8)斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是，侧面积和体积分别是s斜棱柱侧和V斜棱柱它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则s斜棱柱侧V斜棱柱

(9)欧拉定理（欧拉公式）VFE2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F.E二各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：EnF2若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数V与棱数E的关系:.E-!mV2

(10)球的组合体球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为，a,外接球的半12径为兰a.4