平面向量基础知识点总结

向量的表示方法：用有向线段表示用字母a、平面向量知识点总结基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向uuuAB(几何表示法);b等表示(字母表示法);(坐标表示法)ry轴方向相同的两个单位向量i、对实数_、y，使得a(_,y)，其中_叫做a在_轴上的坐标,rrj(0,1),o(0,0)。a|T_2平面向量的坐标表示分别取与_轴、面向量基本定理知，有且只有角)坐标，记作a特别地，f(1,0)，则AB_2_1,y

2.3零向量、单位向量：长度为0的向量叫零向量，记为0;长度为1个单位长度的向量，叫单位向量

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；rr我们规定o与任一向量平行向量a、bj作为基底。任作一个向量a，由平_：yj，(_,y)叫做向量a的(直y叫做a在y轴上的坐标，2y；若A(_1,y1)，B(_2,y2)，22_1)(y2y1).(注：就是单位向量)|a|rc平行，记作ab/C.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量b（是唯一）rurrr性质：a/b(b0)aur七宀0,b与a同向方向-ur0,b与a反向长度-|a|ba/b(b0)_y_2%0(其中a(为，yj,b区皿)

5.相等向量和垂直向量:相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量垂直向量两向量的夹角为2rurr性质：abago0ruruab_1_2yy0（其中a（冷yj,b（冷也）

6.向量的加法、减法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角于则和平行四边于则。平行四边于则:uurrACarb（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）uurrrDBab三角于则加法首尾相连减法终点相连，方向指向被减数uumuuuruuuuruuuuuLr加法法则的推广：ABnAB1B1B2Bn1Bnuruuuuuruuuu即n个向量ai,a2,a.首尾相连成一个封闭图形，则有印a?a.rrr向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a （差向量的意义：0A=a,OB=b，贝UBA=a平面向量的坐标运算：若rra(_i,yi)，b(_2,y2)，则ab(_i_2,yiy?)，(_i_2,yiy2)，a(_,y)。向量加法的交换律：a b=b a；向量加法的结合律：(a b) c=a (b c)常用结论：umriuunuur

(1)若AD-(ABAC)，则D是AB的中点uuuuuuuuur

(2)或G是ABC的重心，贝UGAGBGC

7.向量的模：i、定义：向量的大小，记为ruuu|a|或|AB|

2、模的求法:若a(_,y)，则|a|、_2y2uuu；2若A(_i,yi),B(_2,y2)，则IABI,(_2_1)(y2yi)

3、性质：r22r2(1)|a|a；|a|b(b0)|a|b(实数与向量的转化关系)rrr2r

(2)ab|a|b|，反之不然rrrrrr

(3)三角不等式：|a|b|ab|a|b|rrrrrr

(4)|ago||a|b|(当且仅当a,b共线时取“=”)rrrrrrrrrrrr即当a,b同向时，ago|a|b|；即当a,b同反向时，a|a|b|

(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，r2r2rr2rr2即2|a|2|b||ab||ab|

8.实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a

(1)I入a|=|川a|；

(2)入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入a=0；

(3)运算定律入(_)=(入a,(入 庄)入a 卩a，入(a b)=入a 入b交换律:agobga；分配律:(a(a)b)gcagpbop(ab)=a(b);不满足结合律：即(agb)9agb9)向量没有除法运算。如：agbcgbar2rr-ag3a都是错误的(4)已知两个非零向量a,b，它们的夹角为，则agb=|a|b|cos坐标运算：auru(_1,y1),b2肆2)，则agb_y2uuu

(5)向量ABa在轴I上的投影为:IaIcos(为a与n的夹角，n为|的方向向量)其投影的长为AB/agn|n|nL为n的单位向量)|n|

(6)a与b的夹角和ago的关系:

(1)当0时,a与b同向；当时，a与b反向

(2)为锐角时,则有ag0a,b不共线；为钝角时，则有agb0rua,b不共线

9.向量共线定理向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b=入a。

10.平面向量基本定理:如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a=_ie1 A2e2。

(1)不共线向量ei、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e

1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.2,2是被a,ei,e2唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(_,y)，则0A=(_,y);当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(_1,y1),B(_2,y2),则AB=(_2-_1,y2-y1)

1.1向量a和b的数量积：_Srffab=|a|b|cos，其中0,n为a和b的夹角。rr|b|cos称为b在a的方向上的投影。ab的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量。若a=(_1,y1),b=(_2,y),则a?b_1_2y2运算律：ab=ba,(Aa)b=a(2b)=2(ab),(a b)c=ac bc。a和b的夹角公式：cos_1_2y”222_2y2a?aa2|a|2=_2 y2，或|a|=)_2y2|ab|w|aIb|。(_i_2_3yiy2y3)

3.312两个向量平行的充要条件：符号语言：若a/b,a丰0,贝Ua=入b坐标语言为：设a=(_i,yi),b=(_2,y2)，贝Ua/b(_i,yi)=入(_2,y2)，即12yiy2或_iy2-_2yi=0在这里，实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入0;当a与b异向时，入0。|开=回,入的大小由a及b的大小确定。因此，当a,b确定时，入的符号与大小就确定了。|b|这就是实数乘向量中入的几何意义。

1.3两个向量垂直的充要条件：符号语言：a丄ba=0坐标语言：设a=(_i,yi),b=(_2,y2)，贝卩a丄b_i_2 yiy2=0精心