立体几何初步总结材料

知识结构、立体几何初步空间几何体立体几何初步总结

1.空间几何体的结构：2.三视图和直观图

3.表面积和体积点线面位置关系、基础知识精要I

(一)空间几何体的结构棱柱直棱柱斜棱柱

1、多面体棱锥正棱锥棱台正棱台多面体：棱柱、棱锥、棱台旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球组合体：由简单几何体组合而成中心投影与平行投影三视图：正视图；侧视图；俯视图直观图：原图面积：直观图面积=：V

1.平面的性质：公理体系；位置关系

2.直线与平面：平行与垂直的判定与性质

3.平面与平面：平行与垂直的判定与性质

4.距离的求法；角度的求法正棱柱A侧棱ADAEEOOB中BdfbFFAEDOEDFA1平行六面体

2、四棱柱直平行六面体长万体直四棱柱正四棱柱正方体

3、定理：平行棱锥底面的截面将棱锥截得的上下两个棱锥的(1)空=鱼二相似比的平方s底s侧卜相似比的立方两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的三部分的侧面积之比、三部分的体积之比

4、圆柱一一侧面展开图是矩形旋转体圆锥圆台侧面展开图是扇形侧面展开图是扇环

5、柱锥台之间的关系

(二)、三视图和直观图1中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形2平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影分正投影、斜投影3三视图：正视图（前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）4直观图：（表示空间图形的平面图）观察者站在某一点观察几何体,画出的图形。把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形定理：平面图形的原图面积：直观图面积=题型：(1)已知直观图画出三视图

(2)已知三视图画出直观图

(三)、表面积与体积気棱柱表=CI 2S底（c:底面周长；I:侧棱长h:高）=2rh2r2卩“r2：（叶叨侧面展开图扇形中心角为360侧面展开图扇环中心角为ro360VSh81S2SV=-h(SiTSSTS2)Sl0V-Sh33/2S6S/_!Z22S10/12hV圆柱rhV圆台=h(r1r1r2r2)Vrh3343V球=一R；S球面=4R

2.（R为球的半径）3基础知识精要n（点、直线、平面之间的位置关系）

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

2空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求简单的异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法或用判定定理(补充)

3.直线与平面位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。直线与平面平行的判断方法及性质，判定定理是证明平行问题的依据。直线与平面垂直的证明直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是0.90三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况)

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。_(4)两平面间的距离问题t点到面的距离问题t直接法体积法

(5)二面角。二面角的平面角的作法及求法：定义法：一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。射影面积法：s=Scose三主要思想与方法：1.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算

(1)空间角异面直线所成的角范围：0vew90方法：平移法；补于直线与平面所成的角范围：0WW90。方法：关键是作垂线，找射影二面角方法：定义法；三垂线定理法；垂面法；射影面积法：(2)空间距离一一两点之间的距离点到直线的距离点到平面的距离.两条平行线间的距离两条异面直线间的距离直线与平面之间的距离平行平面间距离七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离2平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变

3.在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高

4.证明问题一一求证找判定；已知用性质平行转化一一思路图：线|线傻线|面面|面垂直转化思线线傻线面面面平行的判定方法（请自己配图）直线与直线直线与平面平面与平面1a,b小allbaIb定义：ala|定义：llll2a/ba|bb/ca/ba/a,ba/,b/lla,b,aIbA3a/,aallbb/aa.b,abAc,dlla/c,b/d4aa/bbA、BlA、B在平面同侧l/A、B到平面等距离alla5aba|b/H垂直的判定方法（请自己配图）直线与直线直线与平面平面与平面1定义：定义：定义：a与B成90aa,bb0ababO,O90b(b任意).a|ab的二面角2laabb/aab,acab,c,bcAaa3aabba/bab/4三垂线定理：b为b在内的射影-aba,aba/5b为b在内的射影/aba,ab,la,al65aa

5.线面是立体几何的核心一一思维的突破口

6.中点问题找中点构造三角形中位线、平行四边形等

7.“字图”结构一一线面是立体几何的核心思维的突破口女口：最小角定理(三余弦)在三棱锥PABC中，PA面ABC,ACB90贝U：(1)BC面PAC;

(2)PCB

(3)面PCB面ABC注：模型7是其典型应用三.基本结论（存在性、唯一性问题和常用结论）

1、四边形中有四个角是直角则此四边形为矩形。

2、两条异面直线的公垂线有且只有一条。

3、过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条。

4、过空间一点与该直线垂直的直线有无数条。

5、过直线外一点与该直线平行的平面有无数多个。

6、过空间一点与该直线垂直的平面有且只有一个。

7、过平面外一点与该平面平行的直线有无数条。

8、过平面外一点与该平面平行的平面有且只有一个。

9、过空间一点与该平面垂直的直线有且只有一条。

10、过空间一点与该平面垂直的直线有且只有一条。

11、线在平面内的射影有且只有一条（射影是斜线上所有的点到平面内的射影的点集）平面的斜线与其射影所确定的平面与该平面的垂直。

12、长方体的对角线与相邻三棱成角的余弦平方和等于1;与相邻三面成角的余弦平方和等于

13、四面体ABCD中最多有四个直角三角形。

14、过两条异面直线中的一条能作且只能做一个平面与另一条直线平行，那么异面直线间的距离等于线面距离。

15、平移不改变所成的角（夹角），但平移改变距离。

16、夹在两个平行平面间的平行线段相等。

17、如果四面体中有两组对棱互相垂直，那么第三组对棱也互相垂直且任一顶点在对面的射影是垂心。四数学模型题模型1I,A、B，C，求作ABC与ABABC，设P为ABC上一点，PABCPIQCABCCPCABC模型2已知ABPBCQCAR，求证P、Q、R三点共线。证明：PABQPCPABABCPQBCABCQQABCB同理Rl”、Q、R三点共线模型

(1)三个平面两两相交有三条交线，其中两条交线交于一点，求证

第三条交线必已知acb求证:Pa,Pb,Pc或abIIc证明：(1)PabPaPQabPPPQcPc模型4最小角定理:公式：coscos过此点；

(2)或这三点交线互相平行。该四面体的四个面都是RtabP

(2)a/b时b!11a/ba/1111baa/c111aci!1a/b/ccosp7z/模型5(证明平行思路图的典型例题)已知1a/a/，求证：a/l证明：过a作使ba/aba/b如果一条直线与两相交平面平行，则此直线与它们的交线平行。过a作使c，同理a/cb/cQccc/a/lbl模型6过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一异面直线平行。证明：在A上任取一点A，过A作bbQabAa、b可确定一个平面a、b异面/-bQb/b-Jb/模型7(证明垂直思路图的典型例题)平面内有一个半圆，直径AB,过A作SA求证:在半圆上任取一点M，连SM,SB且N、H分别是A在SM、SB上射影并思考：(1)互相垂直直线的对数？Rt个数？面面垂直对数?NHSB,联想与拓展：你能自编自导新的问题吗?模型8如图PA是平面的斜线，以下三个条件：ZAPC=ZAPB;

(2)A到PB、PC边的距离相等;

(3)PA在内的射影是/BPC垂线，则三个有一个成立可推出另两个成立。模型9若PABC,O为P在面上的射影

(1)若PA=PB=PC,贝UO为ABC外心

(2)若P到AABC三边等距，则O为mBC_内或旁_心

(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC垂心

(4)若AABC为正三角形，PA=PB=PC，贝UO为MBC_中_心

(6)若AABC为直角三角形，PA=PB=PC,贝UO为AABC_外_心模型

(1)找点在面上的射影：已知AAl,则A在上的射影Bl

(2)找斜线的射影：已知ll则l与所成的角为/ACB结论：平面的斜线与其射影所构成的平面与垂直

(3)求点到平面的距离一一转化思想2o已知A，过A可作/，则A到的距离就是到的距离。

1o已知A，则过A可作a/，则A至U的距离就是a到的距离。

3o已知线段AB中点，0，则AB到距离相等。

5oOA:OBm:nAA:BB4o两条异面直线的距离转化为两平行平面。过E作EFAD,EF为BC与AD的距离A到平面BCD距离，作AODE交于O,AO为此距离AC与BCD所成角，连OC，为所求.面角的平面角所在平面与两个半平面均垂直则该直线平行于这两个相交平面的交线（用两那么这两个平面的交求证：MN/平面BECE六.经典30题

1、三个平面可将空间分成几部分：2、与同一条直线相交的所有平行线在同一平面内。

3、已知异面直线a与b所成50,P为空间一点，则过点P且与a、b所成的角都是B,讨论B取不同值时，该直线有且仅有多少条？

4、若一条直线分别平行于两个相交平面，种方法证明）

5、若两个相交平面都垂直于第三个平面，线也垂直于这个平面（用三种方法证明）

6、正方形ABCD与正方形ABEF相交于角线BD与AE上的点，且DM=AN

7、在空间四边形PABC中，PA丄面ABC,AC丄BC,若A在PB、PC上的射影分别为E、F，求证：EF丄PB标准文档

8、已知矩形ABCD中，AB=1,BC=a,PA丄平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ丄QD，求a的值。

9、空间一点到二面角aB的两个面的距离分别是1和2，到棱的距离是2，求这二面角的大小。（答案：75。15,105,165）

10、如果两个平面分别垂直于两条异面直线中的一条，那么这两个平面的交线平行于两条异面直线的公垂线。

11、ABC,E、E是AB、AC边上的一点，则SABCSAEFABACAEAF（拓展到三维空间，四面体ABCD中，E、F、G分别是AB、AC、AD上的点）贝廿vabcdABACAD、VAefgAEAFAG

1.已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积2.圆台的上下两个底面半径为10、20,平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1，求截面的半径.（变式：r、R;比为p:q）

3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积_4.圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.5.面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？_4一个正方体的内切球的体积为V，求正方体的棱长。若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是多少？

5.求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比

6.已知球的一个截面的面积为9n,且此截面到球心的距离为4,求此球的表面积和体积公理1:Al,Bl,A,Bl记写：平面ABC。公理3:PAIBAIBl,Pl小结：平面概念；三条公理的文字语言、图形语言、符号语言