高中物理竞赛辅导光学导学

光学导学【竞赛大纲】

1、几何光学。掌握光的直进、反射、全反射、折射、色散。掌握折射率与光速的关系。平面镜成像。球面镜成像公式及作图法。薄透镜成像公式及作图法。眼睛。放大镜。显微镜。望远镜。

2、波动光学。掌握光的干涉和衍射，光谱和光谱分析。电磁波谱。

3、光的本性。了解光的学说的历史发展。掌握光电效应，爱XX方程，波粒二象性。第一部分几何光学

1.1几何光学基础

1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。

2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。

3、光的反射定律：反射光线在入射光线和法线所决定平面内；反射光线和入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角。

4、光的折射定律：折射光线在入射光线和法线所决定平面内；折射光线和入射光线分居法线两侧；入射角与折射角满足；当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象(折射率为的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角)。

1.2光的反射

1.

2.

1、组合平面镜成像：A

1.1组合平面镜由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜(交于O点)镜间放一点光源S(图11)，S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜(或它们的延长线)保持着SS1S2S3S4S5O图12对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。图13L1L2AO两面平面镜AO和

L1L2AOC

2、全反射全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角iA

图15中的r表示光第一次折射的折射角，表示光第二次的入射角，只要大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。P1P2MNa

1、如图16所示，A

2、两个平面镜之间的夹角为4

5、60、120。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。解：设两平面镜A和

1.5，不是整数，从图110(d)可直接看出，物P经镜A成的像在镜

3、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图114所示。棱镜用玻璃制成，

1.251

1.251

1.2590图114与DE面上)，与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。i1A

1.251

1.251

1.25901i2i2i3i345i44F图115解:如图115所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的

第一条光线a

第三条光线ce互相垂直。由于棱镜的C角是直角，=360-270-dec=90-dec=。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。只要光路符合上面的要求，由

4、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图116所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面

1.5。分析:如图117所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。图117解:当最内侧光的入射角大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从

1.3光的折射

1.

3.

1、多层介质折射图11如图：多层介质折射率分别为则由折射定律得：

1.

3.

2、平面折射的视深在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。设水相对于空气的折射率为，由折射定律得令OM=_，则于是ddQQO_Mi图12上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，则，于是这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。如图13所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠S2S3S1O2O1SS1QNPM图13镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得，故两像间距离为。

1.

3.

3、棱镜的折射与色散A

1.

3.

4、费马原理费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，(图18)。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。试问：

(1)透镜凸面应取什么形状？

(2)透镜顶点A与点O相距多少？

(3)对透镜的孔径R有何限制？

_y

(1)取坐标系如图，由光线和的等光程性，得整理后，得到任一点M(_，y)的坐标_，y应满足的方程为令，则上式成为这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。

(2)透镜顶点A的位置应满足或者可见，对于一定的n和，由R决定。

(3)因点在透镜外，即，这是对R的限制条件，有即要求讨论在极限情形，即时，有如下结果：即点A与点重合。又因_yRfAMNntF图19a=0故透镜凸面的双曲线方程变为即双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图19所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系故，即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角就是全反射的临界角。图110例

1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图110所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？

分析:如图111所示。进入玻璃中的光线垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线右侧一直到与球面正好相切的光线范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。图111解:图111中，

参见图113所示，由折身定律，得，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30。考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有，图113而，即有，因EA与O

2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化d图114一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角出射(图114)。求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。(设)。解:首先考虑光的路线(图115)。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律，更简单的形式是这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿_轴变化，即图115图116在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即为常数，于是在平板内任一点有与_的关系已知，因此沿平板中的光束为图(116)表明光束的路径是一个半径为_C=r的圆，从而有现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有因为，故有于是因此在本题情形根据得出A点的_坐标为_=1cm。光线的轨迹方程为代入_=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm图117例

3、图117表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，

(1)

(2)其中

(3)如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角。应满足条件可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

(4)或

(5)现在计算，利用

(3)式可得由

(1)式可得由此又由

(1)式

(6)由图及

(1)、

(2)式，或由

(6)式均可看出，越大则越小。因此，如果与值最大的光线相应的设为，则任何光线都不能射出液面。反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。自C点发出的值最大的光线是极靠近CD的光线，它被D

(6)式可知与之相应的；能观察到亮点的条件为即上式可写成取平方化简后得故平方并化简可得这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与之间应满足条件。例

4、如图119所示，两个顶角分别为和的棱镜胶合在图119一起。折射率由下式给出：；其中

1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长。确定此情形的折射率和。

2、画出入射角相同的、波长为、和的三种不同光线的路径。

3、确定组合棱镜的最小偏向角。

4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。图120解:

1、如果，则从不同方向到达AC面的波长为的光线就不折射，即因而在此情形下。

2、对波长比长的红光，和均小于

1.5。反之，对波长比短的蓝光，两个折射率均比

1.5要大。现在研究折射率在AC面上如何变化。我们已知道，对波长为的光，。如果考虑波长为而不是的光，则由于，所以。同理，对蓝光有。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了(图120)。

3、对波长为的光，组合棱镜可看作顶角为30、折射率为n=

1.5的单一棱镜。图121我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图121中的角相等时发生。根据折射定律，因而偏向角为

4、利用图122中的数据，可以写出图122；消去后得经变换后得这是的二次方程。求解得出例

5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为，液体对绿光的折射率为。当容器壁的内、外半径之比r：R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

图123分析:所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90的临界折射。因为题中未给出、的大小关系，故需要分别讨论。解:

(1)当时，因为是要求r：R的最小值，所以当时，应考虑的是图123中A

(2)当时此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁，只要在CD及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足条件仍然是。

(3)当时因为，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90的临界折射，因此当时，所看到的壁厚不可能为零了。当时，应考虑的是图124中A

6、有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=

1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为=10cm的凸球面。

(1)要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统)，取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？

图125F1

(2)对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求(此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率)。分析:首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。解:

(1)对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图125所示，图中为左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得即光线射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点

(2)设从无限远处物点射入的平行光线用a、

7、在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心离镜面为3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对速度。水的折射率n=4/3。见图127和图128。图127解:鱼在1秒钟内游过的距离为v。我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦角度本身去近似。在点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像(图127)。从点以角度发出的光线，在A点的水中入射角为v，在空气中的折射角为，把出射光线向相反方向延长给出虚像位置。显然图128从三角形，有利用通常的近似，于是所以这个虚像与球心的距离为水的折射率n=4/3，从而。若折射率大于2，则像是实像。由像距与物距之商得到放大率为对水来说，放大率为2。以与速度v相应的线段为物，它位于在E处平面镜前距离为2R处，它在镜后2R远的处形成一个与物同样大小的虚像离球心的距离为5R。在一般情形中，我们设。的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此，我们只要确定的实像而无需再去考虑平面镜。我们需要求出以角度从发出的光线在C点的入射角，其中在三角形中，玻璃中的折射角为需要算出角。因为而且与C点和D点的两角之和相加，或与和之和相加，两种情况下都等于180，因此即从三角形，有此外因此像距为若k=5，n=4/3，得放大率为若把k=5，n=4/3代入，则放大率为2/3。综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度2v向上运动，而鱼的实像以速度向下运动。两个像的相对速度为是原有速度的8/3倍。我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在作此实验时，他将看到什么现象呢？

两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的。实际上观察到两个反方向的速度，其中一个速度是另一个速度的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像和鱼缸前的另一个像。两个像的距离为

8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来的光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近于8/3。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息。两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。

1.

4、光在球面上的反射与折射

1.

4.

1、球面镜成像

(1)球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面图11图12的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F(图11)，这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F(图12)，这F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即

(2)球面镜成像公式根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：(如图13所示)设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于点，半径CA为反射的法线，即S的像。根据反射定律，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有由为SA为近轴光线，所以，式可改写为式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入式化简这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表所列；对于凸镜，如表所列。表凹镜成像情况物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虚实实物同侧f缩小倒实2f同侧f2f缩小倒实2f同侧2f等大倒实2ff同侧f2f放大倒实f放大f0异侧0放大正虚虚物异侧0f缩小正实表凸镜成像情况物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性质实物f同侧0f缩小正虚虚物2f同侧f2f缩小倒虚2f同侧2f等大倒虚f2f同侧2f放大倒虚ff0异侧0放大正实

(3)球面镜多次成像球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。图14如图14所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1、O2相距

2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？

S在凹镜中成像，可解得,根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像作为凸镜的虚物来处理，，可解得说明凸镜所成的像和S在同一位置上。

1.

4.

2、球面折射成像

(1)球面折射成像公式图15(a)单介质球面折射成像如图15所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，为S的像。因为i、r均很小，行以因为，代入式可有对近轴光线来说，、同样很小，所以有，代入式可得当时的v是焦距f，所以

(2)光焦度60cm30cm图18折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用表示：它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。的数值越大，平行光束折得越厉害；0时，屈折是会聚性的；0时，屈折是发散性的。=0时，对应于，即为平面折射。这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。光焦度的单位是米-1，或称屈光度，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片