高数竞赛辅导材料上

高等数学竞赛辅导材料(上)CH

1.函数极限与连续

1.求的反函数.

2.求的反函数.

3.求的反函数.

4.设,求.

5.设是定义在内的一个函数,满足关系:,求.

6.设对一切实数,满足关系式:,求.

7.设函数的图形关于两直线和分别对称,证明:函数为周期函数.

8.设,试问是否连续.

9.求的表达式.

10.设,求

1.1求下列极限1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)17)18)

1.2设均为正数,求

1.3设,求.

1.4设.求

1.5设,求.

1.6证明方程在(0,1)上必有一个实根,并求.

1.7求.

1.8设双曲线上横坐标分别为与点,.过点,及双曲线的顶点的圆之圆心记为,求当时,点的极限位置.CH2导数

1.求下列函数的导数:1)2)3)4)5)6)

2.设,求

3.设,求

4.问在处有几阶导数？

5.问在处有几阶导数？

6.当时,与是同阶无穷小.求.

7.设为非零常数,求,并求此极限值.

8.设与为等价无穷小,.求证:1),2).

9.求下列函数的阶导数:1)2)3)4)5)

10.设,为正整数,求在点处的值.

1.1设,为正整数,求.

1.2求下列函数的二阶导数:1)2)3)4)

1.3设,求.

1.4求导数:1)2)3)4)

1.5设,问当为何值时,在处可导？

并求.

1.6设,求当时及的值.

1.7设是单调连续函数的反函数,已知,求的值.

1.8设对任意实数,有,且,证明.

1.9设对任何恒有,且,试求与的关系.

20.设,求.

2.1设在处连续,且存在,试证在处可导.

2.2设其中在点的领域内一阶导数连续,求.

2.3设在点可导,证明.

2.4设具有二阶连续导数,且求.

2.5设与为等价无穷小,求证:1),2).

2.6设,且为常数.证明:.

2.7设为常数,且,.证明.

2.8设函数在上满足,对任意均有成立,其中为正常数,试证明恒为常数.CH3中值定理及导数应用

1.求下列极限:1),2),3),4),5),6),7),8),

2.设在上连续,在内可导,且,证明存在,使得.

3.设在上连续,在内可导,且,证明存在,使得.

4.设函数在上连续,在内可导,且证明至少存在一点,使得.

5.设函数在上连续,在内可导,且,,证明至少存在一点,使得.

6.设在上可微,证明存在,使=.

7.设在上连续,在内可导,且,证明存在,使得.

8.设在上连续,在内可导,且,证明存在,使得.

9.设,试证:,其中.

10.证明至少存在一点,使得.

1.1设在上连续,在内可导,且.证明在内至少有一点使.

1.2设在上连续,在内二阶可导,又设连接两点的直线和曲线相交于点,求证存在,使得.

1.3设,在上可微,证明存在,使.

1.4设函数在上连续,在内可导,且,证明在内至少存在一点,使得.

1.5设在上定义的函数存在且单调减少,证明:.

1.6设在上连续,且当时,其中是常数,证明:如果,那么方程在上有且仅有一个根.

1.7设在二阶可导,且,证明存在,使得.

1.8设在上二阶可微,则.

1.9设函数在上二次可微,且,证明:对任意的,有,.

20.设在上,证明:对任意的,有.

2.1若函数在上连续,在内有二阶导数,则在内至少存在一点,使.

2.2设在上连续,且,证明:在内至少有一个零点.

2.3判断方程有几个实数.

2.4设函数在上二次可微,且,又,证明方程在内+有且仅有一个实根.

2.5判定方程是否有根,有实根时,指出所在区间.

2.6试讨论方程的实根.

2.7证明方程至多有三个实根.

2.8证明恒等式:.

2.9证明下列不等式:1).,2).,3).设,则,4).,5).,6),7),8),9),10).

30.设在上连续,.证明:当时,单调增加.

3.1求函数的极值.

3.2求在上的最大值和最小值.

3.3求函数的凹凸区间和拐点.

3.4求的极值.

3.5求数列中值最大的一项.

3.6设某人自A点开车,到

3.7当,试证:,且,.

3.8设,且,求证:在内至少有个零点.CH4不定积分

1.求下列不定积分:1).,2).,3),4),5).,6),7),8),9),10),11),12),13),14),15),16),17),18),19),20),21),22),23),24)25),26),27),28).

2..确定系数,使下列式子成立.

3..设,求.

4.已知,求及.

5.求.

6.设的一个原函数为,求.

7.求.

8.设函数为的原函数,当时,有,且,求.

9.设,求.

10.设是由方程确定的函数,求.CH5定积分

1.求下列定积分的值:1),2),3),4),5),6),7),8),9),10)10),12),13),14).15)16)

2.求下列极限:1),2),3),4)求,

3.求下列函数的导数:1),2),3),4),5),6).

4.试确定,使得为有限值,并求此值.

5.设一阶连续可微,试求.

6.设,试求.

7.设,求.

8.设,求.

9.设,证明:1)是偶函数,2)在上单调增加.

10.对一切实数,连续,且.证明1)为偶函数,2)在上单调增加.

1.1设在内连续,且,证明:

(1)若为偶函数,则也为偶函数;

(2)若非增,则非减.

1.2由所确定的函数.试讨论其极值点.

1.3求由方程所确定的可导函数的可能极值点,并讨论这些点是极大值还是极小值.

1.4设是连续的正值函数,.试证明:曲线在上是下凸的.

1.5设是的连续函数,求.

1.6设是连续函数,求.

1.7求.

1.8设,求.

1.9求证:.

20.设且,求.

2.1求.

2.2求连续函数,使得满足.

2.3设,求在的值.

2.4设,求.

2.5设,求.

2.6设可导,且,求.

2.7设是以为周期的周期函数,证明:.

2.8设函数在上连续,且,证明:.

2.9求.

30.求.

3.1求.

3.2求.

3.3求.

3.4求.

3.5求.

3.6设在上连续,且,求.

3.7设在上有二阶连续导数,证明:.

3.8设在上有一阶连续导数,证明:在内至少有一点,.3

9.设在上有二阶连续导数,证明存在,使得.40.证明不等式1),2),3),4),5),6),

4.1证明:.

4.2设在上有连续导数,且证明.

4.3设在上连续,在内可微,且,求证:.

4.4设在上是连续增函数,证明:.

4.5设在上可微,单调增加,证明:.

4.6设在上连续可导,为常数,证明:.

4.7求下列广义积分:1),2),3),4),5),6),7),8).

4.7已知,求.