等差数列精品

教师学科教案20-20学年度

第一学期任教学科:任教年级:任教老师:__市实验学校

一、知识概要

1.等差数列的概念

定义：如果一个数列从

第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一常数，这样的数列叫等差数列.首项记为a1,公差记为d.

表示形式：an1and,an2Hn1an1Hn,2an1HnHn2(nN)

等差中项：如果三个数a,A,b成等差数列，则A叫a与b的等差中项.则Ab

2.2通项公式：ana1(n1)d=am+(nm)dn(a1an)n(n1),

3.刖n项和公式：Sn1=na1d22推导方法为：倒序相加法

4.函数的观点认识等差数列

anknb是关于项数n的一次函数(一般情况下)

SnAn2Bn是关于项数n的二次函数且缺常数项(一般情况下)

5.等差数列的判定方法

定义法：an1and(常数)an是等差数列

中项公式法：2an1anan2(nN)不是等差数列

通项公式法：anpnq(p,q为常数)an是等差数列2_

前n项和公式法：SnAnBn(A,B为常数)an是等差数列

6.常用性质

若数列an,bn为等差数列，则数列ank,kan,anbn,kanb(k,b为非零常数)均为等差数列；

对任何m,nN,在等差数列an中，有anam(nm)d,特别的，当m1时，便得到等差数列的通项公式。另外可得公差dana1n1anamnm

若mnpq(m,n,p,qN),则anam=apaq.特别的，当nm2k时，得小am2ak

若an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即ai%a ania3an2ai1ani。

在等差数列an中，每隔k(kN)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k1)d(例如：a，a,，a7,知仍为公差为3d的等差数列)

如果a。是等差数列，公差为d,那么an,%i，a2,ai也是等差数列，其公差为d.

若数列an为等差数列，则记Skaia2ak,S2kSkak1ak2a2k,S3kS2ka2k1a2k2a3k,则Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等差数列，且公差为k2d

7.前n项和Sn常用的基本性质S-

若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.n

记等差数列an的前n项和为Sn:an0若a10,公差d0,则当时，则Sn有最大值；an104an0若a10,公差d0,则当时，则Sn有最小值。an10求Sn最值的方法也可先求出Sn,再用配方法求解。

二、知识运用

熟用ana1(ni)dam(nm)d,danam问题nm

1.等差数列an中，a350,as30,则ag

(10)

2.等差数列an中，a3as24,a23,则a6(空)

3.已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5,a3与a7的等差中项为7,则an(2n3)

4.一个等差数列中ais33,a2566,则a35(99)

5.已知等差数列an中，apq,aqp,则apq(_0)

an与Sn的关系问题

2.1数列an的刖n项和Sn=3nn，则an=(42n)23(n1)

2.数列an的前项n和Sn=nn1,则an=()n2n(n2)2一,一

3.数列an的刖n项和Sn=n2n,则an=(4n3)

2.4数列an的刖n项和Sn=3n4n，则an=(6n1)

5.数列an的前n项和Sn=2n1,则an=(2nD

2.6数列4n2的前n项和Sn=(2n)2_

7.数列4n8的前n项和Sn=(2n6n)

8.数列an的前n项和Sn8n210,则an(2(n1)16n8(n2)

巧设问题一般情况，三个数成等差数列可设：ad,a,ad四个数成等差数列可设：a3d,ad,ad,a3d

1.三个数成等差数列，和为18,积为66,求这三个数。(1,6,11)

2.三个数成等差数列，和为18,平方和为126,求这三个数。(3,6,9)

3.四个数成等差数列，和为26,

第二个数和

第三个数的积为40,求这四个数。(2,5,8,11)

4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数。(2,5,8,11)

5.一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差。(d5)

最值问题

1.等差数列an中，a180,d6,求Sn的最大值。(S14574)

2.等差数列an中，a180,d5,求Sn的最大值。(S16S17680)

3.等差数列an中，a180,d6,求Sn的最小值。(S14574)

4.等差数列an中，a180,d5,求Sn的最小值。(S16S17680)育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰S6S)

5.等差数列an中，a10,S4S9,则n的取值为多少时，Sn最大

6.等差数列an中，a414,公差d3,求数列an的前n项和Sn的最小值。(S999)49)

7.等差数列an中，a113且S3S11,那么n取何值时，Sn取最大值 (S

7.8在等差数列小中，若a3a9,公差d0,使其前n项和Sn为最大值的自然数n值为(5或6)

mnstamanasat性质的应用

1.等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，贝Ua2a8180

2.等差数列an中，若ada5a6a7450,则S10112

5.3等差数列an中，若S1320,则a720

3.4等差数列an中，若an10,则S212

5.等差数列an中，右a3a1i40,则aa5a6a7a8a9a060

6.等差数列an中，aa2a324,a18a19a2。78,则S于0

7.等差数列an中，Sn为其前n项和：

若a3ai0而60,求9;(S19380)

若ania2n100,求Sn；(S3n150n)

5.8等差数列an中，a2a44,a3a10,则60

方程思想的应用

1.已知等差数列an中，&21,S624,求数列an的前n项和Sna19,d_22Sn10nn

2.已知等差数列an中，a3a716,a4a60,求数列an的前n项和Sna18,d2Sn9nn2或a128,d2Snn9n

累加法的应用

1.求数列1,2,4,7,11,

1.6的通向公式an.101an-n2-n12

2.2已知数列an满足：anan12n1,a11,求XXX

2.3已知数列an满足：an1an4n1,a11,求XXX,a14,求a

20.35

7.4已知数列an满足：an1an2ann2n3a20

5.在数列an中，a12,an1an1,、ln(1一)，求an1已知等差数列2已知等差数列3在等差数列anlnn2Sn,S2nSn,S3nan中，an中，S2n也成等差数列的应用S34,S912,求Sl5的值.a1a2a32,a4a5a64,则a16a17a18的值.【答an中，S41,S83，求a17a18a19a20的值.育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰