《余弦定理》教学设计

余弦定理教学设计

一、教学内容分析人教版普通高中课程标准实验教科书必修

(五)（第2版）

第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。通过利用几何法、向量的数量积法、坐标法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“已知两边一角”和“三边”解三角形问题，并体会转化划归思想、方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学生学习情况分析在必修四学生已经学习了三角函数、向量基本知识，在上一节课又学了正弦定理，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用几何法、向量的数量积法、坐标法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。学习的最终目的就是应用，特别是正余弦定理在测量高度，距离，角度等方面有广阔的应用，而总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，为此本节课从始至终都以学生的探索为主。设计时在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美，考虑激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

四、教学目标

一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积、坐标等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统

二、过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

三、情感、态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积、坐标等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

五、教学重点与难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：向量方法证明余弦定理.

六、教学过程：教学合作探究活动环节学习目标：

1.掌握余弦定理及其证明方法给出

2.初步掌握余弦定理的应用.任务学习重点与难点：重点:余弦定理及其应用.难点:证明余弦定理.知识三角形的正弦定理内容及其变形回顾正弦定理的作用.学情分析与设计意图任务型教学，让学生明确自己的任务，也便于自我检查。回顾旧知，防止遗忘从学生熟悉问题：在ABC中，已知边a，b，C为直角,求边c.的直角三角形开变式：在ABC中，已知边a，b，C为锐角,求边始，便于问题的创设c.引入思路的展开，也变式2：在ABC中，已知边a，b，C为钝角,求边c.为后面引申提供转化思路.得到在一般三角形中的结论：222cab2abcosC提出你能够有更好的方法证明吗？问题帮助学生从向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，引发学生的积极讨论利用向量法推导余弦定理：uurruurruuurur如图：设CBa,CAb,ABC,，合作探究bccccababCBrrrruurra由三角形法则有cabr2aabb2ab22ab2abcosc即：ABC中:c2a2b22abcosc引导学生从相关知识入手，从不同侧面选择思路进行证明首先复习巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知.利用坐标法推导余弦定理：建立直角坐标系，则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)所以合作探究2由线段的端点想到两点之间的距离，并由此利用坐标法证明，凸显了数学思路，指导方法.归纳概括结构分析知识联系余弦定理的推论：cosA22b2c2a2bc2ac2ab知识应用知识归纳比较，发现特征，加强识记使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题解决“边、边、边”问题应用数学知识求解问题加强计算器的运算功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用,尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。

222余弦定理：a2b2c22bccosA222bac2accosB222cab2abcosC文字叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。观察余弦定理的结构，指明了三边长与其中一角四个量，利用方程思想知三求一，进一步理解余弦定理的作用.222222a2c2b2a2b2c2cosBcosC例

XXX中，已知a5，b52，C35，求边c.变式引申：在ABC中，已知a8，b7，B600，求边c.例

XXX中，已知a2，b，c7，求最大角.变式引申2：在ABC中，若a2，b4，c5，则此三角形是（钝角）三角形.怎样利用已知条件判断三角形的形状？222a2b2c2,则ABC是锐角三角形方法222应用a2b2c2,则ABC是直角三角形222用准确的量化关系去解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。继续深化正a2b2c2,则ABC是钝角三角形弦、余弦定理，并让学生初步发现“边、边、角”2

1.在ABC中，满足a2b2c2ab，求C.知识

2.在ABC中，若sinA:sinB:sinC3:2:4，求深化在中，若，求cosC.问题解法.应用是数学大海中有两岛屿A、B，已知两岛屿之间布满暗礁，知识探究船只无法直线来往，请你借助测角仪，用今天所学的知识，设计一个方案，测量AB之间的距离。的最终目的，以此题去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。课堂小结

1、余弦定理各能解决哪些类型问题？

2、从本课中你学到了哪些知识和方法？通过知识回顾，使学生各自体会收获。作业设计

1、设计最后一问题的方案。

2、第0页A组

3、4题巩固知识多角度看待问题

七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。

222a2(ccosAb)2(csinA)2c2cos2Ac2sin2A2bccosAb222b2c22bccosA