数学归纳法的难点分析和教学设计word文档版

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，它在数学各个分支里都有广泛应用。该法的实质在于：将一个无法（或很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“P

（1）为真”和“P（K）为真则P（K+1）真”，从而达到证明目的。学生学了数学归纳法，既掌握了一种新的数学证明方法，又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法原理作证明的过程中不仅会产生各种技巧上的困难，而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的意义。因此，数学归纳法是传统的教学难点。到底难在哪里？学生在理解上有哪些心理困难？教学中如何突破难点？这是教学中应该探讨的一个课题。下面，我就此谈谈自己在教学中的体会。数学归纳法的教学难点及学生学习的心理困难。难点1：对象的无限性。这是个很抽象的概念。数学归纳法所证明的是无穷个命题P

（1）、P

(2)、P

(3)P（N）为真，无法一一检验，需要寻找一种好的办法来解决。难点2：作为认识这个抽象“对象”的必要基础，学生对递归方法的知识不够，往往把“不完全归纳法”作为“数学归纳法”，用有限来说明无限，不能理解数学归纳法所渗透的数学思想。难点3：对数学归纳法第二步的真实作用不够明确，所需要的逻辑知识不完全具备。学生面临的心理困难主要是1“NK时，命题P（K）到底成立还是不成立？怎样证明？”。2既然成立，何必用假设两个字呢？用“已知”不就得了。3“假设NK时命题成立不就是假设原命题成立吗？”把NK时的假设P（K）与原命题P（N）混淆起来。难点4：对数学归纳法的真实性表示困惑。为什么证明了“两个步骤”就可以断言命题对一切自然数都成立呢？为什么只须验证“N1”的情况呢？为什么可以“假设NK时结论正确”呢？因为学生在学习这一内容以前所进行的论证，其证明思路和表达方式都类似日常生活的推理，他们容易理解。而数学归纳法却完全不同，他们也许从来也没有想过可以这样来说明一件事的真实性，这也叫证明吗？难点5：具体使用数学归纳法是一种全新的证明格式，它的掌握需要一个过程，尤其到第二步的证明更感陌生，不知道如何使用（基至不使用）归纳假设，不能自觉寻找P（K+1）与P（K）的递推关系。总之，数学归纳法内容抽象，思想新颖，结构复杂，加上学生原有的认知结构对于同化“数学归纳法”无论是数学知识还是逻辑知识都不够充分。所以他们不易领会和掌握，对数学归纳法的实质往往停留在“形式”上。数学设计与难点突破关于原有的认知结构同化数学归纳法存在数学知识和逻辑知识上准备不足的困难，在教学中设计了从具体到抽象，从特殊到一般，暴露了知识形成的完整过程，以帮助学生更好地理解数学归纳法原理。

1.直接从生活经验中提炼归纳的基本结构。首先从笑话“万百千识字”和书中的例子（对AN(N25N5)2，A11，A21，A31，A41，AN1吗？）来说明不完全归纳法得出的结论不可靠。就要寻找证明关于自然数N命题的一种可靠方法，比较简单而有满足逻辑严谨性。说明引进数学归纳法的必要性。再由等差数列的通项公式ANA1+（N1）D说明此结论正确，推导方法不严密。由此产生寻找新方法的需求，增强学习动机，提高学习热情。继而，让学生回忆小时候玩的“倒砖”游戏，思考问题：

1、如果不推倒任何一块砖，这些砖能全部倒下吗？

2、如果在砖的某一段上拿走几块，那么你推第一块砖能保证全部倒下吗？这样，对于数学归纳法的应用前提和场合提供了形象化的参照物，对理解数学归纳法作了感情上的铺垫。同时有利于帮助学生理解数学归纳法的两个步骤缺一不可。这样，从学生已知知识结构出发，从其不完善之处找出新知识的生长点，激发学生的认知需求。这样引入，有助于化解难点

1、难点2。

2.利用这样的结构去解决具体数学问题，暴露数学归纳法证题的直观过程，并作第二次提炼，得到数学归纳法。首先举例：证明1+3+5+（2N1）N2（NN）证明：

（1）当N1时，左边1，右边1，等式成立。

(2)假设当NK时，等式成立就是1+3+5+（2K1）K2那么1+3+5+（2K1）+2（K+1）11+3+5+（2K1）+（2K+1）K2+2K+1（K+1）2这就是说，只要NK时等式成立，便必有NK+1时等式成立。

(3)把第（1）步得出的N1等式成立代入第二步可推出N2等式成立，再把N2等式成立代入第二步可推出N3等式成立，以此类推，每一次都把已证实的前一个命题做基础反复代入第二步。

(4)由第三步无穷传递下去，可得等式对一切正整数N都成立。再次强调：第一步是递推的基础，验证P

（1）为真，第二步是传递性的依据，第三步是传递的过程，P

（1）真第二步P

(2)真第二步P

(3)真第二步第四步是传递的结论，即由第三步无穷传递下去可知P（N）对一切正整数N都成立，这样可直观地说明数学归纳法的无限递推过程，当中传递过程的具体化，又可使学生清楚地看出到第一步与第二步在功能上有不同的分工，但又缺一不可。特别是第二步的理解，事实上，NK时，P（K）成立不成立，不是第二步的任务。第二步的任务是证明命题P（N）对自然数N具有传递性，它说明只有P（K）成立，即么P（K+1）也成立这对化解难点1。难点3，难点4都有积极作用。再在这4个步骤的基础上，总结出数学归纳法的证题步骤和格式。进一步认识数学归纳法，并在学生练习的基础上，总结第二步的基本方法。假设F（K）G（K），求证F（K+1）证明：F（K+1）F（F（K），K）（找递推关系）F（G（K），K）（代入归纳假设）G（K+1）（进行恒等变形）强调在证明P（K+1）为真时，一定要用到归纳假设。否则证明有错误，或者所用的方法不是数学归纳法。这样对于化解难点5起到积极作用。

3.通过学生具体的练习，巩固这个新方法，使之纳入到他们自己的知识体系中去形成新的认识结构。掌握一个新方法，反例是必不可少的。因此对于学生作业中的错误总是反复地分析。通过错例分析强调数学归纳法每步的必要性，以加深学生对数学归纳法的认识。数学归纳法原理这是一个难点非常集中的课题。在以后的教学中，我将不断实践，不断探索。: