高中数学难点解析教案3数学归纳法解题

高中数学难点解析难点3数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.难点磁场是否存在a、b、c使得等式22 232 n(n )2=(an2 bn c).案例探究例试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n,nN_且a、b、c互不相等时，均有：an cn2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak ck akc cka.证明：

(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q)an cn= bnqn=bn( qn)2bn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a c猜想n(n2且nN_)下面用数学归纳法证明：当n=2时，由2(a2 c2)(a c)2，设n=k时成立，即则当n=k 时，(ak ck ak ck )(ak ck akc cka)=(ak ck)(a c)k=k 例2在数列an中，a=，当n2时，an,Sn,Sn成等比数列.

(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列an所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：

(2)中，Sk=应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：an,Sn,Sn成等比数列，Sn2=an(Sn)(n2)(_)

(1)由a=,S2=a a2= a2,代入(_)式得:a2=由a=，a2=,S3= a3代入(_)式得：a3=同理可得：a4=,由此可推出：an=

(2)当n=,2,3,4时，由(_)知猜想成立.假设n=k(k2)时，ak=成立故Sk2=(Sk)(2k3)(2k)Sk2 2Sk=0Sk=(舍)由Sk 2=ak (Sk ),得(Sk ak )2=ak (ak Sk)由知，an=对一切nN成立.

(3)由

(2)得数列前n项和Sn=,S=Sn=0.锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k )成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.歼灭难点训练

一、选择题

1.已知f(n)=(2n 7)3n 9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为A.30B.26C.36D.

2.用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证A.n=B.n=2C.n=3D.n=

二、填空题

3.观察下列式子：则可归纳出_.

4.已知a=,an =,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_.

三、解答题

5.用数学归纳法证明4 3n 2能被3整除，其中nN_.

6.若n为大于的自然数，求证：

7.已知数列bn是等差数列，b=,b b2 b0=

(1)求数列bn的通项公式bn;

(2)设数列an的通项an=loga( )(其中a0且a)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn 的大小，并证明你的结论.

8.设实数q满足|q|,数列an满足：a=2,a20,anan =qn,求an表达式，又如果S2n3,求q的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=,2,3,有于是，对n=,2,3下面等式成立22 232 n(n )2=记Sn=22 232 n(n )2设n=k时上式成立，即Sk=(3k2 k 0)那么Sk =Sk (k )(k 2)2=(k 2)(3k 5) (k )(k 2)2=(3k2 5k 2k 24)=3(k )2 (k ) 0也就是说，等式对n=k 也成立.综上所述，当a=3,b=,c=0时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练

一、

1.解析：f

(1)=36,f

(2)=08=336,f

(3)=360=036f

(1),f

(2),f

(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k 7)3k 9能被36整除，则n=k 时，f(k )f(k)=(2k 9)3k (2k 7)3k=(6k 27)3k(2k 7)3k=(4k 20)3k=36(k 5)3k2(k2)f(k )能被36整除f

(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于

6.答案：C

2.解析：由题意知n3，应验证n=

3.答案：C

二、

3.解析：(nN_)(nN_)、

三、

5.证明：

(1)当n=时，42 3 2=9能被3整除

(2)假设当n=k时，42k 3k 2能被3整除，则当n=k 时，42(k ) 3k 3=42k 42 3k 2342k 3 42k 3=42k 3 3(42k 3k 2)42k 3能被3整除，42k 3k 2能被3整除当n=k 时也成立.由知，当nN_时，42n 3n 2能被3整除.

6.证明：

(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即

7.

(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n

(2)证明：由bn=3n2知Sn=loga( ) loga( ) loga( )=loga( )( )( )而logabn =loga,于是，比较Sn与logabn 的大小比较( )( )( )与的大小.取n=，有( )=取n=2，有( )( 推测：( )( )( )(_)当n=时，已验证(_)式成立.假设n=k(k)时(_)式成立，即( )( )( )则当n=k 时，,即当n=k 时，(_)式成立由知，(_)式对任意正整数n都成立.于是，当a时，Snlogabn ,当0a时，Snlogabn

8.解：aa2=q,a=2,a20,q0,a2=,anan =qn,an an 2=qn 两式相除，得,即an 2=qan于是，a=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n =qn(n=,2,3,)综合，猜想通项公式为an=下证：

(1)当n=,2时猜想成立

(2)设n=2k时，a2k=2qk则n=2k 时，由于a2k =qa2ka2k =2qk即n=2k成立.可推知n=2k 也成立.设n=2k时，a2k=qk,则n=2k 2时，由于a2k 2=qa2k,所以a2k 2=qk ,这说明n=2k成立，可推知n=2k 2也成立.综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.这样所求通项公式为an=S2n=(a a3 a2n) (a2 a4 a2n)=2( q q2 qn-)(q q2 qn)由于|q|,=依题意知3,并注意q0,|q|解得q0或0q-