等比数列高三一轮复习教案.docx

3.3等比数列【考点及要求】等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.等比数列的定义、通项公式、前n项和公式是解决等比数列的有关计算、论证,等比数列的有关性质的基础和出发点,这类问题往往解法灵活、多变,是高考试题的生长点,选择题、填空题和解答题都可能出现.【要点回放】等比数列an1q（常数q为公比）(nN)（注意隐含条件:an0,q0）

1.定义：an

2.通项公式：ana1qn1推广:anamqnm

3.等比中项：如果在a与b间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，Gab.(XXX(q1)

4.前n项和公式：Sna1(1qn)1,且q0)1(qq（易错点:不分类讨论）注意:应用前n项和公式时,一定要区分q1与q1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.

5.等比数列an的一些常用性质

(1)对于任意正整数p,q,r,s，如果pqrs，则有apaqaras；如果pr2q，则有aparaq2

(2)对于任意正整数n1,有an2an1an1(3)对于任意非零实数b，数列ban是等比数列，则数列an是等比数列

(4)已知数列bn是等比数列，则anbn也是等比数列。下标成等差数列的项构成等比数列连续若干项的和也构成等比数列.6证明数列为等比数列的方法：(1)an1q(nN)数列an为等比数列定义法:若an

(2)等比中项法:若an21anan2(nN且anan1an20列an为等比数列

(3)通项法:若ancqn(c,q均是不为0的常数，nN)数列an为等比数列

(4)前n项和法:若SnAqnA(A,q为常数，且q0,q1)数列an为等比数列7解决等比数列有关问题的常见思维方法

(1)方程的思想(“知三求二”问题)

(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对q1和q1讨论a10,q或0,0q时等比数列an为递增数列1a11,(an1ana1qn1(q1))a10,q1或a10,0q1时,等比数列an为递减数列【基础训练】

1.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3 a4 a5=（C）(A)33(B)72(C)84(D)18

9.2已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式an32n

3.3命题甲：(1)_,21_,2_2成等比数列，命题乙:lg_,lg(_1),lg(_3)成等差数列，则甲是乙2的必要不充分条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

4.（04年上海卷.文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设.an是公比为q的无穷等比数列,下列an的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)S1与S2;a2与S3;a1与an;q与an.其中n为大于1的整数,Sn为an的前n项和.

5.(05重庆卷)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是(C)(A)4；(B)5；(C)6；(D)

7.

6.设数列an的前n项和为Sn（nN_），关于数列an有下列三个命题：(1)若an既是等差数列又是等比数列，则anan1(nN_)；

(2)若Snan2bna、bR，则an是等差数列；

(3)若Sn11n，则an是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.【例题讲练】题型等比数列中基本量的计算例1:数列an为等比数列,求下列各值,

(1)已知a3a636a4a718an1,求n.2

(2)已知a2a836a3a715,求公比q.

(3)已知q2,S815

(12),求a

1.思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题解

(1)a4a7a3qa6qq(a3a6)18,a3a636,q1232

(1)n3n1a3a6a3a3q3a3(1q3)36,a332ana3qn328n922

(2)aaaa36aa15,aa是方程_215_36两根XXX,70,a33,a712或a312,a73,q44或q41q2或q242

(3)S8a11(2)8a1(15)15

(12)a1(12)

(12)11212变式

1.设一个等比数列的首项为a(a0),公比为q(q0),其前n项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n项和是6560,求a和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想,解:若q=1,则na=80,2na=160矛盾,q1a1(1qn)80

(1)1q

(2)nn1于是得q81又q0,q1ana1q54

(3)a1(1q2n)

(1)6560

(2)1qqn81代入

(1)

(3)得a1及a8154qa2,q31q变式

2.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3 S6=2S9,求数列的公比q.答案:q342变式

3.已知等比数列an中，a1 a2 a3=7，a1a2a3=8，求an.剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q.解：设an的公比为q，由题意知aa1qaq27,11aaqaq28,111解得a11,或a14,1an=2n1或an=23n.q2q.2评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例

2.已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列.求q3的值；求证:a2,a8,a5成等差数列.（答案:q3=1）2题型等比数列的判定和证明例

1.（04全国）数列an的前n项和记为Sn，已知a11,an1n21,2,XXX(n证明：数列Sn是等比数列；Sn14an.n证明：an1Sn1Sn,an1n2Sn,n

(2),整理得nSnnSn1SnnSn12(n1)Sn,所以Sn12Sn.故Sn是以2为公比的等比数列.n1nnSn1Sn1(n2.于是Sn4(n1)Sn14an(n2.由知1411n1nn又a23S13,故S2a1a24,因此对于任意正整数n1,都有Sn14an.评注:换元法体会肤浅,函数观点应用不当均会造成失误.例

2.已知数列an,Sn是它的前n项和,且Sn14an2(nN),a11(1)设bnan12an(nN),求证:数列bn是等比数列

(2)设cna2nn,求证:数列cn是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和Sn已知可求an解：(1)Sn14an2,Sn24an12Sn2Sn14an14an即an24an14anan22an12(an12an),而bnan12anbn12bn,由此可得bn是等比数列且首项b1a22a13,公比q2,bn32n1(2)cnbn,cn1cnan1anbn32n132n2n12n2n12n14可知cn是首项c1a11,公差d3的等差数列,cn3n122444变式1:数列an,bn的通项公式分别是an2n,bn3n2,它们公共项由小到大排列的数列是cn,写出cn的前5项证明cn是等比数列思维分析:容易证明cn是等比数列,由定义式,只需找出cn中任意相邻两项关系即可.解

(1)cn的前5项为：8、

2、12

8、512、20

(2)设ambpcn,cn2m3p2,而am122m2(3p2)3(2p1)1am1不在bn中,又am242m4(3p2)3(4p2)2,am2在bn中am2是cn中的项即cn1项,cn14cn,故cn是等比数列变式

2.已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：ak，ak，12akn，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得akn，然后列方程求得kn.解：设an的首项为a1，ak

1、ak

2、ak3成等比数列，（a14d）2a1（a116d.得a12d，qak

2.3ak1akna1（kn1）d，又akna13n1，kn23n

1.1k1k2kn2（133n1）n213nn1n3n

1.3评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：akn是等差数列中的第kn项，而又是等比数列中的第n项（双重身份.变式

3.设各项均为正数的数列ann5an，5bn，5an1成等比数列，lgbn，lgan 1，和b满足lgbn 1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.剖析：由等比中项、等差中项的性质得an 1=bnb递推出nbn1bn（n2.n1a=解：5an，5bn，5an1成等比数列，（5bn）2=5an5an1，即2bn=an an

1.又lgbn，lgan 1，lgbn 1成等差数列，2lgan 1=lgbn lgbn 1，即an 12=bnbn

1.由及a0，bj0（、jN_）可得an 1=bnbn

XXX（n2.将代入可得2bn=bn1bn bnbn1（n2），2bn=bn1 bn1（n2.数列bn为等差数列.b1=2，a2=3，a22=b1b2，b2=

9.2bn=2 （92）=1（n 1）（n=1也成立.）（n122(n1)2an=bn1bnn2(n1)2n(n1)（XXX.=2222又当n=1时，a1=1也成立.an=n(n1)

2.变式

4.设二次方程an_2an1_10(nN)有两根,且满足6263试用an表示an1求证:an2是等比数列;3当a17an的通项时,求数列6总结:要证一个数列是等比数列,可求得其通项公式,从而判定其是等比数列.，但要证明不是等比（等差）数列只要举出反例。题型等比数列的性质应用题型例:解下列各题：(1)an是等比数列，且an0，a2a4 2a3a5 a4a6=25,则a3 a5=A.A、5B、10C、15D、20_

(2)若an是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，则log3a1 log3a2 log3a10=

20

(3)等比数列an的前10项和为32，前20为56，则它的前30项和为C.A、72B、73C、74D、88

(4)已知正项等比数列an，前n项的和为Sn，若S3=6，a7 a8 a9=24，那么S99=6（233-1.题型等比数列的实际应用例:甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时,由对方接着掷.第一次由甲开始掷.若第n次由甲掷的概率为Pn,求Pn；求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.n1（答案:P=1112.8关键是找出相邻两项之间的关系）n22381题型等比数列的综合问题例:如图,OBC的三个顶点坐标分别为0,0、1,0、0,2,设P1线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn3为线段PnPn1的中点,令P_,y,an1ynyn1yn

XXX求a1,a2,a3及an；求证:yn41yn,nN；P2P14若记by4n4y4n,nN,证明:b是等比数列.nn（答案:an=2）O_变题:（湖南04）如图，直线l1:yk_1k(k0,k1)与l2:y1_1相222交于点P.直线l1与_轴交于点P1，过点P1作_轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作_轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P

1、Q

1、P

2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列_n.证明_n111(_n1),nN_；求数列_n的通项公式；2k比较2|PPn|2与4k2|PP1|25的大小.证明：设点Pn的坐标是(_n,yn)，由已知条件得点Qn、Pn 1的坐标分别是：(_n,1_n1),(_n1,1_n1.2222由Pn 1在直线l1上，得1_n1k_n11k.所以1(_n2211)k(_n11),即_n11(_n1),nN_.2112k解：由题设知_1,_110,又由知_n1111)，1kk(_n2k所以数列_n1是首项为_11,公比为1的等比数列.2k从而_n11(1)n1,即_n12

(1)n,nN_.k2k2kyk_1k,解：由y1_1得点P的坐标为（1，1.,22所以2|PPn|22(_n1)22(k_n1k1)28

(1)2n2

(1)2n2,2k2k4k2|PP1|254k2(111)2(01)254k

2.9k当|k|1,即k1或k1时，4k2|PP1|251 9=

1.222而此时0|1|1,所以2|PPn|2812

1.故2|PPn|24k2|PP1|

2.52k1,即k1,0)(0,1)时，4k2|PP1当0|k|(|251 9=

1.1222而此时|1,所以2|PPn|2812

1.故2|PPn|24k2|PP1|

2.52k【方法总结】1涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量a1,q来处理；2使用等比数列前n项和公式时，必须弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似4在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求【作业反馈】

1.（湖北卷）设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn 1,Sn，Sn 2成等差数列，则q的值为-

2.2.(全国卷)在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘32积为_216_

3.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3 a4 a5=(C)(A)33(B)72(C)84(D)1894（2024年辽宁卷）在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于(A)2n12(B)3n(C)2n(D)3n1【解析】因数列an为等比，则an2qn1，因数列an1也是等比数列，(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1则q22q)0q1a(1n即an2，所以Sn2n，故选择答案C。5（06京）设f(n)224XXXX1023n10(nN)，则f(n)等于(D)（A）2(8n1)（B）2(8n11)77（C）2(8n31)（D）2(8n41)776（06上）已知有穷数列an共有2k项（整数k2），首项a12设该数列的前n项和为Sn，且an1(a1)Sn2（n12，21a1，k），其中常数

(1)求证：数列an是等比数列；21log2(a1a2

(2)若a22k1，数列bn满足bnan)（n1，2，2k），求数列bn的通项公式；n

(3)若

(2)中的数列bn满足不等式|b13||b23||b2k13|b2k3|4，求k的值22227（06陕）已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Snan25an6,且a1,a2,a15成等比数列，求数列an的通项an.解:10Sn=an2 5an 6,10a1=a12 5a1 6,解之得a1=2或a1=

3.又10Sn1=an12 5an1 6(n2),由得10an=(an2an12) 6(anan1),即(an an1)(anan15)=0an an10,anan1=5(n2)