等比数列教案

教学目标：

(1)掌握等比数列的定义；归纳出等比数列的通项公式。

(2)通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；会解决关于等比数列的简单问题。

(3)进行史志教育，激发学生学习的学习兴趣；渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法；充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的。重难点：等比数列的定义及通项公式、性质。教学重点：灵活应用定义式及通项公式、性质解决相关问题。教学过程：

1、复习导入：

(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d来表示。

(2)等差数列的通项公式：An=A1 (n-1)d

(3)An=Am (n-m)d(nm)

(4)若m n=p q,则Am An=Ap Aq.2、引入：早在春秋战国时代，我国名家公孙子龙就有个著名论断：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”（用粉笔在手中演练）若设该锤的单位长度为1，则每天所得的长度构成一个数列

,1/8，6在此引入数学史料，进行数学史志教育。在印度有这样一个美妙的传说，印度国王为了嘉奖国际象棋的发明者，将他召到王宫，并让他尽管提条件，这个发明者说：“请国王在国际象棋棋盘的第1个格子里放上1粒麦子，第2个格子里放上2粒麦子，第3个格子里放上4粒麦子，第4个格子里放上8粒麦子，以此类推，直到最后一个格子。国王听后哈哈大笑，说他条件太少了，便吩咐人去办，可经办人一算，吓了一跳，发现全印度的麦子给了他还远远不够。那在这里呢，毎格的麦子数构成了这样一个数列

1,2,4,8,由此激发学生的学习兴趣。

3、定义：在认真考察以上两个数列，寻求他们的共同点，并对照等差数列的定义，绝大部分同学都非常轻松地自己给出等比数列的定义。（在等差数列定义的基础上，用彩色粉笔改动几个关键词即可）

1、定义：等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列就叫做等比数列，并且这个常数叫做等比数列的公比，通常用q来表示。

2、思考：

(1)常数数列是不是等比数列。（常数数列是等差数列，但不一定是等比数列，只有非零常数数列才是等比数列，同时强调等比数列的各项不能为0，在此培养学生思维的严谨性）

(2)q不等于

4、探索发现通项公式：先请同学们写出上述两个实例的通项公式。对于一般情况，公比为q的等比数列An的通项公式怎样求呢？由于学生有求等差数列的通项公式的经验，他们非常自然地想到用归纳推理：a2=a

1.qa3=a

2.q=(a

1.q)q=a

1.q2a4=a

3.q=(a

1.q2)q=a

1.q

3.由此学生便可以提出大胆的猜想：等比数列An的通项公式是：An=a

1.q(n-1)说明：在通项公式中涉及四个量，只需知其中三个便可求出另外一个量；用所得的通项公式去将上述实例的通项公式用等比数列的通项公式表示出来，加强对通项公式的掌握。

5、练习巩固（例题讲解）：例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：设首项为a1，公比为q，则a

1.q2=

(1)a

1.q3=

(2)解

(2)所得的方程组得，a1=3/2,q=16/3所以a2=a

1.q=16/3_3/2=8所以a1=3/2a2=8例2一个等比数列An中a1 a2=30,a3 a4=120,求a5 a

6.分析：绝大部分同学会仿照例1的解法求出首项和公比，进而求得a5 a6（此题的解题过程在这里就不写了，但在授课过程中必须得写出来）观察：我们不仅会解题，还要学会从每道题中获得我们更多有用的东西。由已知：a1 a2=30,a3 a4=120,又求得a5 a6=480，所以可以给同学们这样的一个推论：（留下这道例题的题目，解题过程擦掉，然后将例2改为推论，同过增减字可得所要的推论）推论：如果一个等比数列An的公比为q，则

(1)a1 a2,a3 a4,a5 a6,a(n-1) an也为等比数列且q=q

(2)a1 a2,a2 a3,a3 a4,a(n-1) an也为等比数列且q=q这个推论的过程可布置为学生的课后作业。

6、等差数列有公式：an=am (n-m)d(nm)；若m n=p q,则am an=ap aq的结论。那同学们能否在等比数列中得出类似的结论呢？带领学生一起探索，推导。绝大部分同学都能归纳出结论：

(1)an=am.q(n-m)(nm)；

(2)若m n=p q,则am.an=ap.aq注意：对于公式

(1)，可指出它与通项公式的“一般与特殊”的关系。

7、作业

1)在等比数列中，求2)等比数列1，2，4，求从第5项到第10项的和。

3)设等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，求通项公式。

8、小结：这堂课我们把等比数列与等差数列的有关概念和性质进行类比与对比，十分自然地得出等比数列的定义及其类似的性质，又非常清楚地揭示了等比数列本身的特点和规律。课堂上推论的证明以及课后习题

1、2两题。