第七讲高中数学平面向量知识点.docx

平面向量复习【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|1。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。

8.三角形法则：ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）

9.平行四边形法则：以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。

1.共线定理：abb。当0时，a与b同向；当0时，a与b反向。

1.1基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

1.2向量的模：若a(_,y)，则|a|_2y22|a|2，|ab|(ab)2，a

1.3数量积与夹角公式：ab|a||b|cos；cosab|a||b|

1.4平行与垂直：bab_1y2_2y1；abab0_1_2y1y20

1.基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。

(5)若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

(6)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。

(7)若mamb，则ab。

(8)若mana，则mn。

(9)若

(10)若ab|a||b|，则b。a与b不共线，则a与b都不是零向量。

(11)若|ab||ab|，则ab。题型

2.向量的加减运算

1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则|ab|。

2.化简(ABMB)(BOBC)OM。

3.已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为、。

4.已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb，则AB，AD。

5.已知点C在线段AB上，且AC3AB,则ACBC，ABBC。题型

3.向量的数乘运算

5.1计算：2(2a5b3c)3(2a3b2c)

2.已知a(1,4),b(3,8)，则3a1b。2题型4根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB，AC表示AD。

2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD。题型

5.向量的坐标运算

1.已知AB(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是。

2.已知PQ(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是。

3.若物体受三个力F(1,2),F2(2,3),F(1,4),则合力的坐标为。13.4已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b。

5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(_2,_3y2)与AB相等，求_,y的值。

6.已知AB(2,3)，BC(m,n)，CD(1,4)，则DA。

7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0，求OC的坐标。题型

6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.e1e2和e1e2B.3e12e2和4e26e1C.e13e2和e23e1D.e2和e2e

1.2已知a(3,4)，能与a构成基底的是A.(3,4)55B.(4,3)55C.(3,4)55D.(1,4)3题型

7.结合三角函数求向量坐标

1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2，_OA150，求OA的坐标。

2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43，_OA60，求OA的坐标。题型

8.求数量积

1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求

(1)ab，

(2)a(ab)，

(3)1，(2ab)(a3b)。(ab)b

4.22已知a(2,6),b(8,10)1）|a|,|b|，

(2)ab，

(3)a(2ab)

(4)(2ab)(a3b)。题型

9.求向量的夹角

1.已知|a|8,|b|3，ab12，求a与b的夹角。

2.已知a(3,1),b(23,2)，求a与b的夹角。

3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。题型

1.求向量的模

1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求

(1)|ab|，

(2)|2a3b|。

2.已知a(2,6),b(8,10)，求

(1)|a|,|b|，

(5)|ab|，

(6)|a1b|。

2.3已知|a|1，|b|2，|3a2b|3，求|3ab|。题型

1.1求单位向量【与a平行的单位向量：a】e|a|

1.与a(12,5)平行的单位向量是

2.与m(1,1)平行的单位向量是。2题型

1.2向量的平行与垂直

1.已知a(1,2)，b(3,2)，

(1)k为何值时，向量kab与a3b垂直？

(2)k为何值时向量kab与a3b平行？

2.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：a(bc)。题型

1.3三点共线问题

1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。

2.设AB2(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线。

2.3已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是。

4.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。

5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，是否存在常数t，使OAtOBOCB(1,2)C(1,1)成立？题型

1.4判断多边形的形状

1.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是。

2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。

3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。题型

1.5平面向量的综合应用

1.已知a(1,0)，b(2,1)，当k为何值时，向量kab与a3b平行？

2.已知a(3,5)，且ab，|b|2，求b的坐标。

3.已知a与b同向，b(1,2)，则ab10，求a的坐标。

4.已知a(1,2)，b(3,1)，c(5,4)，则cab。

5.已知a(m,3)，b(2,1)，

(1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围；

(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。

6.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，

(1)a与b的夹角为钝角？

(2)a与b的夹角为锐角？

7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且ADC，AB2CD，求点C的坐标。

8.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，

(1)若ABAC0，求c的值；

(2)若c5，求snA的值。