二次函数与圆知识点总结

初三数学二次函数和圆的知识点总结

1.定义：一般地，如果ya_2b_c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做_的二次函数.

2.二次函数

(1)抛物线ya_2的性质ya_2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

(2)函数ya_2的图像与a的符号关系.当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点，对称轴是yya_20）轴的抛物线的解析式形式为（a.

3.二次函数ya_2b_c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数ya_2b_c用配方法可化成：ya_h2k的形式，其中hb，k4acb

2.2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：ya_2；ya_2k；ya_h2；ya_h2k；ya_2b_c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作_h.特别地，y轴记作直线_0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b2b2b4acb

(1)公式法：24ac，顶点是（ya_b_ca_4a2a，），对称轴是直2a4a线_b.2a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya_h2k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线_h.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线ya_2b_c中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与ya_2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线ya_2b_c的对称轴是直线_bb0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；，故：b0时，对称轴为y轴；2aab0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a

(3)c的大小决定抛物线ya_2b_c与y轴交点的位置.当_0时，yc，抛物线ya_2b_c与y轴有且只有一个交点（0，c）：c0，抛物线经过原点;c0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0.a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标ya_2_0（y轴）（0,0）ya_2k_0（y轴）(0,k)ya_h2当a0时_h(h,0)ya_2开口向上_h(h,k)hka_2当a0时byb_c_b4acb2开口向下2a(，)2a4a

1.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：ya_2b_c.已知图像上三点或三对_、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：ya_h2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与_轴的交点坐标_

1、_2，通常选用交点式：ya____

2.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线ya_2b_c得交点为(0,c).

(2)与y轴平行的直线_h与抛物线ya_2b_c有且只有一个交点(h,ah2bhc).

(3)抛物线与_轴的交点二次函数ya_2b_c的图像与_轴的两个交点的横坐标_

1、_2，是对应一元二次方程a_2b_c0的两个实数根.抛物线与_轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与_轴相交；有一个交点（顶点在_轴上）0抛物线与_轴相切；没有交点0抛物线与_轴相离.

(4)平行于_轴的直线与抛物线的交点同

(3)一样可能有0个交点、个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是a_2b_ck的两个实数根.

(5)一次函数yk_nk0的图像l与二次函数ya_2b_ca0的图像G的交点，由方程组yk_n的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方ya_2b_c程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.

(6)抛物线与_轴两交点之间的距离：若抛物线ya_2b_c与_轴两交点为A_，0，B_2，0，由于_

1、_2是方程a_2b_c0的两个根，故__2bc,__2aab2b24acAB__2_2__224c_24__2aaaa

1.垂径定理及推论:几何表达式举例：如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，CD过圆心即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.CDABC平分优弧AE=BEO过圆心AC=BCE垂直于弦AD=BDAB平分弦D平分劣弧

2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.ABOCD

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；B“等角对等弧”；“等弧对等角”；AE“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；O“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.CF几何表达式举例：ABCDAC=BD几何表达式举例：

(1)AOB=CODAB=CD

(2)AB=CDAOB=CODD4圆周角定理及推论:几何表达式举例：

(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

(1)ACB=AOB

(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)

(3)“等弧对等角”“等角对等弧”；

(4)“直径对直角”“直角对直径”；(如图)

(2)AB是直径

(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是ACB=90直角三角形.(如图)C

(3)ACB=90CAAB是直径OABD

(4)CD=AD=BDBOABC是RtCBA

(1)

(2)

(3)

(4)5圆内接四边形性质定理:B圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.A6切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.O

(1)经过半径的外端并且垂直于这条C半径的直线是圆的切线；A

(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；

(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.C几何表达式举例：ABCD是圆内接四边形CDE=ABCDEC A=80几何表达式举例：

(1)OC是半径是半径OCABBAB是切线垂直是切线

(2)OC是半径AB是切线OCAB

(3)7切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，A它们的切线长相等；圆心和这一P点的连线平分两条切线的夹角.OB8弦切角定理及其推论:

(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

(2)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）DACEFA几何表达式举例：PA、PB是切线PA=PBPO过圆心APO=BPO几何表达式举例：

(1)BD是切线，BC是弦CBD=CAB

(2)EF=ABED，BC是切线CBA=DEFBD9相交弦定理及其推论:CB几何表达式举例：

(1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；

(2)如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.DCAPABOPCB0切割线定理及其推论:

(1)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

(2)从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.BBAAPCDPC关于两圆的性质定理:

(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.AAOO2OO2B

(1)

(2)2正多边形的有关计算:O

(1)中心角，半径R，边心距r，nnNDnE边长an，内角n，边数n；Rnrn

(2)有关计算在RtAOC中进行.nACBan

(1)PAPB=PCPD

(2)AB是直径PCAB2PC=PAPB几何表达式举例：

(1)PC是切线，PB是割线2PC=PAPB

(2)PB、PD是割线PAPB=PCPD几何表达式举例：

(1)O，O2是圆心OO2垂直平分AB

(2)

1、2相切O

1、A、O2三点一线公式举例：

(1)n=360；n

(2)n802n几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：OAB

1.有关的计算：

(1)圆的周长C=2R；

(2)弧长L=nR；

(3)圆的面积S=R

2.80

(4)扇形面积S扇形=nR2LR；

(5)弓形面积S弓形=扇形面积SAOBAOB的面积.（如图）360

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧=2rh；(r:底面半径；h:圆柱高)

(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧=LR.（L=2r，R是圆锥母线长；r是底面半径）2四常识：圆是轴对称和中心对称图形.2圆心角的度数等于它所对弧的度数.3三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.4直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交dr；直线与圆相切d=r；直线与圆相离dr.5圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且Rr）两圆外离dR r；两圆外切d=R r；两圆相交R-rdR r；两圆内切d=R-r；两圆内含dR-r.6证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7关于圆的常见辅助线：CCAOAOBBOOABACB已知弦构造Rt.已知直径构造直角.已知弦构造弦心距.已知切线连半径，出垂直.DDCAAOPAOPBDCOOBCBBCPPAD圆外角转化为圆周圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.角.MMAAO2BO2NN00DCE两圆内切，构造外公两圆内切，构造外公切切线与垂直.线与平行.AACOCEO02DBB两圆相交构造公共弦，两圆同心，作弦心距，连结圆心构造中垂线.可证得AC=XXX一切一割出相似,并两割出相似,并且构造圆且构造弦切角.周角.MMDBAAO02CO02ENN两圆外切，构造内公两圆外切，构造内公切线与平行.切线与垂直.ABCOAEPODBCPA、PB是切线，构造相交弦出相似.双垂图形和全等.AADEBCOPBFC规则图形折叠出一双垂出相似,并且构造对全等，一对相似.直角.DECFHOAGB圆的外切四边形对边和相等.O补全半圆.ACODBAAADOEOFDOBCBDCCEB若ADBC都是切线，连等腰三角形底边上的RtABC的内切圆结OA、OB可证的高必过内切圆的圆半径：r=XXX，即A、O、B心和切点,并构造相2三点一线.似形.ACBACoo2oo2BAB=OO2(Rr)

XXX(Rr)

2.22DACGFPPAOBMBDNECPC过圆心，PA是切线，构造O是圆心，等弧出平行和相似.作ANBC，可证出:双垂、XXX.BCAN