圆锥曲线知识点总结.docx

圆锥曲线的方程与性质1椭圆

(1)椭圆概念平面内与两个定点F

1、的焦点，两焦点的距离椭圆的标准方程为：F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有22_y221(ab0)(焦点在_轴上)ab|MF1||MF2|2a。22y2_21（ab0）a2b2焦点在y轴上)。注：以上方程中22在_22y2a2ba,b的大小ab0，其中b2a2c2；2221和y2_21两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看ab22母的大小。例如椭圆_y1m表示焦点在y轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质m0，n0，mn)当mn时表示焦点在_轴上的椭圆；22_2和y2的分2by22若以2_2a对称性：在曲线方程里，所以曲线关于_轴对称，同理，以方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于_轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与范围：由标准方程1知|_|a，|y|b，说明椭圆位于直线_a，yb所围成的矩形里；y代替y方程不变，所以若点(_,y)在曲线上时，点(_,y)也在曲线上，_代替_方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以_代替_，y代替y_轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令_0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得_a，即A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与_轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A

2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b2；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。ac0，0e1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为_2y2a2。2双曲线

(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（|PF1||PF2|2a）。注意：式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支；|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；当2a|F1F2|时，|PF1||PF2|2a表示两条射线；当2a|F1F2|时，|PF1||PF2|2a不表示任何图形；两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|)方程22_2y21a2b2122_2y21b2a2122_2y2122ab22y22_22122ab焦点F(c,0)F(0,c)F(c,0)F(0,c)注意：如何用方程确定焦点的位置！2）双曲线的性质22范围：从标准方程_2y21，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线_a的外侧。即a2b222_2a2，_a即双曲线在两条直线_a的外侧。22对称性：双曲线_2y21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a2b222是双曲线_y1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a2b222顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线_2y21的方程里，对称轴是_,y轴，所a2b222以令y0得_a，因此双曲线和_轴有两个交点A（a,0）A2（a,0），他们是双曲线_2y21的顶点。a2b2令_0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从22图上看，双曲线_2y21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a2b2等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：y_；

(2)渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：_2y2（0），当0时交点在_轴，当0时焦点在y轴上。2222注意_y1与y_1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标169916轴也变了。3抛物线

(1)抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程y22p_p0叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在_轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是_2p；

(2)抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22p_，_22py，_22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如表：标准方程y22p_(p0)y22p_(p0)_22py(p0)_22py(p0)图形loyyol_yFo_oF_Fo_lo_焦点坐标(p,0)2(2p,0)(0,p)2(0,p)2准线方程_p2_p2y2pyp2范围_0_0y0y0对称性_轴_轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1e1说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

(3)注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。