圆锥曲线知识要点.docx

圆锥曲线知识要点及重要结论

一、椭圆1定义平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2aF1F2)的点P的轨迹叫做椭圆.若2aF1F2，点P的轨迹是线段F1F

2.若02aF1F2，点P不存在._2标准方程a2y21(ab0)，两焦点为F1(c,0),F2(c,.2b2y2_2c),F2(0,c.其中a2b2c2221(ab0)，两焦点为F1(0,.ab3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴.椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个，长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的焦点在长轴上._2y21(ab0)，则a_a,byb；若椭圆的标准方程为b2a2y2_21(ab0)，则b_b,aya.若椭圆的标准方程为b2a

二、双曲线1定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(02aF1F2)的点的轨迹叫做双曲线.若2aF1F2，点P的轨迹是两条射线.若2aF1F2，点P不存在._2标准方程a2y21(a0,b0)，两焦点为F1(c,0),F2(c,.2b2_2y21(a0,b0)，两焦点为F1(0,c),F2(0,c.其中c2a2b

2.a2b23几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心.双曲线的顶点有两个A1,A2，实轴长为2a，虚轴长为2b，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为_2y21(a0,b0)，则_a或_a,yR；a2b2若双曲线的标准方程为y2_21(a0,b0)，则ya或ya,_R.a2b24渐近线双曲线_2y21(a0,b0)有两条渐近线yb_和yb_.即_2y20b2aaa2b2双曲线y2_21(a0,b0)有两条渐近线ya_和ya_.即y2_20b2bba2b2双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线._2y21(a0,b_2y

2.与双曲线220渐进线的双曲线可表示为22(0)abab直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0”和“0”同时成立.5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线._2y21(a0)或y2_21(a.等轴双曲线的标准方程为2a2a2a2a等轴双曲线的渐近线方程为y_.6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线._2y21(a0,b0)的共轭双曲线为y2_21(a0,b0)，它们的焦点到如：b2b2a2a2原点的距离相等，因而在以原点为圆心，a2b2为半径的圆上.且它们的渐近线都是yb_和XXX

三、抛物线1定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2标准方程

(1)y22p_(p0)，焦点为(p,0)，准线方程为_p，抛物线张口向右.2

(2)y22p_(p0)，焦点为(p,0)，准线方程为_p，抛物线张口向左.2

(3)_22py(p0)，焦点为(0,p)，准线方程为yp，抛物线张口向上.2

(4)_22py(p0)，焦点为(0,p)，准线方程为yp，抛物线张口向下.22其中p表示焦点到准线的距离.3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为y22p_(p0)或y22p_(p0)，则对称轴是_轴，若方程为_22py(p0)或_22py(p0)，则对称轴是y轴.若抛物线方程为y22p_(p0)，则_0,yR.若抛物线方程为y22p_(p0)，则_0,yR.若抛物线方程为_22py(p0)，则y0,_R.若抛物线方程为_22py(p0)，则y0,_R.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】_2y21(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0)，P(_0,y0)为椭圆上一1已知椭圆2b2a点，则PF1(_0)22(_0c)2b2(1_02)cy0a2c2_022c_0a2(c_0a)2c_0aa2aa因为a_0a，cc_0c,0acc_0aac，aa所以PF1c_0a.同理，XXX已知双曲线_2y21(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，P(_0,y0)为a2b2双曲线上一点，则PF1c_0a，XXX椭圆_2y21(ab0)的两焦点为F1,F2，P为椭圆上一点，若F1PF2，则a2b2F1PF2的面积为b2snb2tan.1cos2解：根据椭圆的定义可得PF1PF22a由余弦定理可得42F1F22PF12PF222PF1PF2cosc由得4a2422PF1PF2(1cos.从而PF1PF22b2c1cos所以，PF1F2的面积为1PF1PF2snb2snb2tan21cos2双曲线_2y21(a0,b0)的两焦点为F1,F2，P为其上一点，若F1PF2，则a2b2F1PF2的面积为1PF1PF2snb2snb2cot.21cos23已知椭圆C:_2y21(ab0)，M,N是C上关于原点对称的两点，点P是椭圆a2b2上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.解：设P(_0,y0),M(_1,y1)，则N(_1,y1.kPMy1y0,kPNy1y0，从而kPMkPNy1y0y1y0y02y

1.2_1_0_1_0_1_0_1_0_02_12又因为P(_0,y0),M(_1,y1)都在椭圆上，故_02y02_12y12.1a2b21,2b2a两式相减得，_02_12y02y120而y02y12b2即kPMkPNb

2.a2b2_02_12a2a2类似结论已知双曲线_2y21(a0,b.M,N是C上关于原点对称的两点，点P是双曲线a2b2上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.【常用方法】1在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l与圆锥曲线C相交于两点的问题，若已知l过定点P(_0,y0)，则可设l的方程为0或yy0k(.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C的方程中，整理得到关于_或y的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零.韦达定理和判别式经常要用到！若l的条件不明显时，则可设l的方程为_m或yk_m.3本章还经常用到“点差法”：设直线l与圆锥曲线C交于点A(_1,y1),B(_2,y2),则A,B两点坐标都满足曲线C的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB的斜率y2y1的表达式，也经常会出现_1_2,y1y2，这样又可以与线段AB的中点_2_1P(_0,y0)联系起来！4若三点A(_1,y1),B(_2,y2),P(_0,y0)满足以线段AB为直径的圆经过点P或APBP时，常用处理方法有：222根据勾股定理可得ABPAPB；根据AP的斜率与BP的斜率之积为y0y1y0y21；1，可得_1_0_2_0根据PAPB0,PA(_1_0,y1y0),PB(_2_0,y2y0)可得(_1_0)(_2_0)(y1y0)(y2y0).5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法.圆锥曲线中有用的结论_2y21(ab_acos1椭圆b20参数方程是bsn.a2y离心率ec1b2，aa2PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,sncF1F2P，则有XXX线到中心的距离为a2(焦准距)pb2，焦点到对应准线的距离。cc过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2b

2.a2椭圆_2y21(ab0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:a2b2PF1e(_a2)ae_，PF2e(a2_)ae_；cF1PFcSF1PF2c|yP|b2tan。23椭圆的的内外部：(1)点P(_0_2y21(ab0),y0)在椭圆2b2a

(2)点P(_0_2y21(ab0),y0)在椭圆2b2a_02y0

2.1的内部2b2a_02y0

2.1的外部2b2a4椭圆的切线方程:_2y21(ab0)上一点P(_0,y0)处的切线方程是_0_y0y

(1)椭圆b2a2b

2.1a

(2)过椭圆_2y21外一点P(_0,y0)所引两条切线的切点弦方程是_0_y0y

1.a2b2a2b

(3)椭圆_2y21(ab0)与直线A_ByC0相切的条件是a2b2A2a2B2b2c

2.5双曲线_2y21(a0,b0)的离心率ec1b2，a2b2aa2PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有XXX焦点在_轴的_2y20焦点在y轴的y2_20渐近22m(m22n(nabba线，它们离心率满足关系111e_2ey2准线到中心的距离为a2，焦点到对应准线的距离(焦准距)pb2。cc过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2b

2.a焦半径公式PF1|e(_a2)|ae_|，PF2|e(a2_)||ae_|，cc两焦半径与焦距构成三角形的面积SFPF2b2cotF1PF。126双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为_2y21_2y2.a2b2渐近线方程：b2a2a

(2)若渐近线方程为yby_2y

2.a0双曲线可设为b2aba

(3)若双曲线与_2y21有公共渐近线，可设为_2y2a2b2a2b2（0，焦点在_轴上，0，焦点在y轴上.

(4)焦点到渐近线的距离总是b。7双曲线的切线方程:_2y21(a0,b0)上一点P(_0,y0)处的切线方程是_0_y0y

1.(1)双曲线b2a2b2a

(2)过双曲线_2y21外一点P(_0,y0)所引两条切线的切点弦方程是_0_y0ya2b2a2b

2.

(3)双曲线_2y21与直线A_ByC0相切的条件是A2a2B2b2c

2.8抛物线y2a2b22p_的焦半径公式:抛物线y22p_(p0)焦半径CF_0p.2过焦点弦长CDpp_1_2p=2p_1_2sn2229直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(_1_2)2(y1y2)2或AB(1k2)(_2_1)24_2_1|_1_2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点A(_1,y1),B(_2,y2)，由方程yk_b消去y得到a_2b_c0F(_,y)00,为直线的倾斜角，k为直线斜率，|_1_2|(_1_2)24_1_

1.经过抛物线y2=2p_(p0)(_)的焦点作一条直线l交抛物线于A(_1,y1)、B(_2,y2),则l的方程为_=p(通经所在直线)，或y=k(_p)(_)22(_)、(_)两式联立：消_得ky2ypk0，得y1y2=p2（定值）消y得方2p2程k2_2(k2p2p)_k2p201_2=p2(定值)44例题：若P1(_1,y1),P2(_2,y2)是抛物线y2=2p_(p0)上不同的两点，则“y1y2=p2”是“直线P1P2过抛物线焦点F”的充要条件

1.1以焦点弦AB为直径的圆必与准线相切。以焦半径为直径的圆必与y轴相切（请证明！）过A、B作准线的垂线，焦点弦AB与准线形成的直角梯形AB/的对角线的交点是原点2T（2p,0）是抛物线y=2p_对称轴y=0上的特殊点，过此点的弦与抛物线交于P、Q，则有POQ=90uuuuruuuro或说OPOQ0。

1.2中点弦公式_2y

2.1AB是椭圆2b21的不平行于对称轴的弦，M(_0,y0)为AB的中点，a则kOMkABb2，即KABb2_0。a2a2y0

XXX是双曲线_2y21（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(_0,y0)为ABa2b2的中点，则KOMKABb2_0，即KABb2_0。a2y0a2y0

1.3抛物线y22p_上的动点可设为P(y2,y)或P(2pt2,2pt)或P(_o,yo)，其中XXX（a0,b0）与直线A_ByC0有公共点的充要条件是

1.6双曲线ba22A2a2B2b2C

2.2

2.215焦点在_轴的_2y2m(m0)与焦点在y轴的y2_2n(n0)共渐近线，它们abba离心率满足关系111e_2ey