圆锥曲线常考题型总结.docx

圆锥曲线大综合第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题k_m，存在实数，三角形（等边、等腰、常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二热点问题

1.定义与轨迹方程问题

2.交点与中点弦问题

3.弦长及面积问题

4.对称问题

5.范围问题

6.存在性问题

7.最值问题

8.定值，定点，定直线问题第二部分知识储备

1.判别式：2.韦达定理：元二次方程a_2b24ac若一元二次方程b_2a_c0(a0）相关的知识（三个“二次”问题）b_c0（a0）有两个不等的实数根_1,_2，则_1_2bc，_1_2aa

3.求根公式：若一元二次方程2a_b_c0（a0）有两个不等的实数根_1,_2，则b_1,2b24ac2a与直线相关的知识

1.直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式

2.与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：点到直线的距离公式：dA_0By0C(一般式)或dk_0y0b(斜截式)A2B212k2ytan，0,)；

3.弦长公式：直线yk_b上两点A(_1,y1),B(_2,y2)间的距离：AB1k2_1_2(1k2)(_1_2)24_1_2(或AB1k2y1y2)

4.两直线l1:y1k1_1b1,l2:y2k2_2b2的位置关系：l1l2k1k21ll2k1k2且b1b

2.5中点坐标公式：已知两点A(_1,y1),B(_2,y2)，若点M_,y线段AB的中点，则_1_1y1y2_11,y1222三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线

1.圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。

2.圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等2b22b22b，双曲线2b，抛物线2paa焦点三角形的面积：p在椭圆上时SVFPFb2tan2p在双曲线上时SVF1PF2ban122四常结合其他知识进行综合考查1圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题

(1)圆锥曲线与圆例

1.(本小题共14分)22已知双曲线C:_2y21(aa2b230,b0)的离心率为3，右准线方程为_33)求双曲线C的方程；)设直线l是圆O:_2y22上动点P(_0,y0)(_0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力)由题意，得cc，解得a1,c3，b2c2a22，所求双曲线C的方程为2y

2.12)点P_0,y0_0y0202y22上，圆在点P_0,y0处的切线方程为yy0_0y0_0，化简得_0_y0y

2._22y212y0y22_02y04_0_82_020线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且03_XXX，且16_0243_02482_02设A、B两点的坐标分别为_1,y1,_2,y2，则_14_0282_02，_22,_1_22，23_024123_024cosAOBuuuruuurOAOB，且uuuruuurOAOB_0_0，2_0223_04_2，uuurOAuuurOB_1_2y1y2_1_2122_0_12_0_2，y0_1_22_02_0_1_22_0_1_2解法2】同解法

1.82_023_02482_023_0248_023_02482_023_0

20AOB的大小为9.)点P_0,y0_0y00在圆_22上，程为yy0_0_y0_0，化简得_0_y0y

2.由3_02_24_0_82_023_0248y0_82_020l与双曲线C交于不同的两点A、B，3_0240，设A、B两点的坐标分别为则_1_282_023_0240,y1y22_028，2，3_02422_0282_02圆在点P_0_且0_1,y1_0,y0处的切线方2y2y0y2122及_02y022_022，,_2,y2，_022y0uuurOAuuurOB_1_2y1y20OB的大小为9.2且_0y00，2_02,022y022，从而当3_0240时，方程和方程的判别式均大于零）练习1：已知点A是椭圆2_C:2y21tt0的左顶点，直线l:_my1（mR）与椭圆C相交于E,F两点，与_轴相交于点B.且当m0时，AEF的面积为

1.63求椭圆C的方程；设直线AE，AF与直线_3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由.

(2)圆锥曲线与图形形状问题_2O是坐标原点例

2.1已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，求此菱形的面积；4

(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由_22解：(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为（2,0）4因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A（1，m），代入椭圆方程得1m21，即m

3.42所以菱形OABC的面积是1|OB||AC|122|m|

3.22

(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为yk_m（k0，m0）22_4y4,222由消y并整理得（14k2）XXX设A（_1，y1），C（_2，y2），mm214k2则_1_24km，y1y2k_1_2214k22k2所以AC的中点为M4km,m2,214k214k21因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为

1.4k1因为k1，所以AC与OB不垂直4k所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形练习1：已知椭圆C：_22y21（ab0）过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和b2一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形求椭圆的标准方程；设M（_,y）是椭圆C上的动点，P（p,0）是_轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.

(3)圆锥曲线与直线问题例

3.1已知椭圆C:_22y24，

(1)求椭圆C的离心率.2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，求直线AB22与圆_2y22的位置关系，并证明你的结论.22解析：椭圆的标准方程为：_y1，42a2，b2则c2，离心率ec2;a222直线AB与圆_y2相切.证明如下：法一：设点AB的坐标分别为_0y0t2，其中XXX因为OAOB，所以OAOB0，即t_02y00，解得t2当_0t时，y0t2，代入椭圆C的方程，得t2,2y0_0故直线AB的方程为_

2.圆心O到直线AB的距离d

2.22此时直线AB与圆_y2相切.当_0t时，直线AB的方程为y2y02_t，_0t即y020ty2_0ty0.圆心O到直线AB的距离.d2_0ty0dy0222_0t

2.此时直线AB与圆_2y22相切.法二：由题意知，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为yk_，OAOB，2相切；当k0时，A20知B02，此时直线AB的方程为_y2或_y2，原点到直线AB的距离为2，此时直线AB与圆_2当k0时，直线OB的方程为y1_，k联立k_2y22得点A的坐标12k242k12k2212k22k12k2；联立1_k得点B的坐标22k2由点A的坐标的对称性知，无妨取点A12k22k12k2进行计算，于是直线AB的方程为：2k2y212k2_y22_22k12k22k1k12k2_2k，即k12k2_1k12k2y2k22024原点到直线AB的距离dk2212k21k12k2此时直线AB与圆22_y2相切。综上知，直线AB一定与圆_2y22相切.法三：当k0时，A20知B02，此时OA2OB2，AB222222，原点到直线AB的距离dOAOB222，、AB22此时直线AB与圆_2y22相切；1当k0时，直线OB的方程为y1_，k设A_1y1B_2y2，则OA1k2_1，OB1k2y221k22k2k联立y_2k2_y24得点A的坐标12k212k2或12k212k2于是OA1k2_A21k2，OB21k2,AB41k2221k212k2所以dOAOBAB221k212k22,直线AB与圆_2y22相切；综上知，直线AB一定与圆_2y22相切_2y2练习1：已知椭圆C:_2y21（ab0）过点（0,1），且长轴长是焦距的2倍.过椭ab圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点.求椭圆C的标准方程；若直线AB垂直于_轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.

(4)圆锥曲线定值与证明问题例

4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在_轴上，离心率为3，且椭圆C上的点到2两个焦点的距离之和为4A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过求椭圆C的方程；原点与l平行的直线与椭圆交于点P证明：|AM||AN|2|OP|22解：设椭圆C的标准方程为_22y21(ab0)，ab2222abc,c由题意知3,解得a2，b1a22a4,）设A为椭圆C的左顶点，过点_22所以椭圆C的标准方程为y215分4)设直线AM的方程为：yk(_2)，则N(0,2k)yk(_2)，2222由22得(1 4k2)_216k2_16k240(_)_24y24,设A(2,0)，M(_1,y1)，则2，_1是方程(_)的两个根，所以_128k214k2|AM|所以M(1248kk2,144kk2)41k214k2|AN|44k221k2|AM|AN|41k221k28(1k2)14k24k2设直线OP的方程为：yk_yk_，由_y2k4_，y24,得(14k2)_20(_0,y0)，则_02414k22y04k214k2所以|OP|24144kk2，2|OP|28k214k22所以|AM||AN|2|OP|2_2例

4.2:已知椭圆C：2a22y2b2ab0）的离心率为，A(a,0),B(0,b)，O（0，0），OAB的面积为

1.求椭圆C的方程；设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与_轴交于点N。求证：AN?BM为定值。22练习1：已知椭圆C:_2y2ab1(ab0)的离心率为63椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.3求椭圆C的方程;已知动直线yk(_1)与椭圆C相交于A、B两点.若线段AB中点的横坐标17uuuruuur为,求斜率k的值;若点M(,0),求证:MAMB为定值.23练习2：已知抛物线C:y22p_(p0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线AB(不垂直于_轴)过点F且抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为p

(1)求抛物线C的方程；

(2)若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：|OD|2|OM|1练习3：动点P(_,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:_4的距离之比为

1.求动点P的轨迹C的方程；已知定点A(2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M,N,F三点共线.

(5)圆锥曲线最值问题例5：已知椭圆C:_2y21(ab0)的离心率为3，椭圆C与y轴交于A，B两点，a2b22|AB|

2.求椭圆C的方程；设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA，PB与直线_4分别相交于M，N两点.若以MN为直径的圆与_轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.解：由题意可得，b1，1分c32分e，a2得a213，得2，3分a242解a24，4分椭圆C的标准方程为2_y

2.15分4设P(_0,y0)(0_02)，A(0,1)，B(0,1)，所以kPAy01，直线PA的方程为yy01_1，6分_0_0同理：直线PB的方程为yy01_1，_0直线PA与直线_4的交点为M(4,4(y01)1)，7分_0直线PB与直线_4的交点为N(4,4(y01)1)，_0线段MN的中点(4,4y0)，8分_0所以圆的方程为(_4)2(y4y0)2

(14)2，9分_0_02令y0，则(_4)216y200)2，10分_024因为_0y021，所以y0211，11分4_02428所以（_4）2850，_0因为这个圆与_轴相交,该方程有两个不同的实数解，88所以50，解得_0（8,

2.12分设交点坐标(_1,0),(_2,0)，则|_1_2|258(8_02)_05_05所以该圆被_轴截得的弦长为最大值为2.14分练习1：已知椭圆C：_2y21ab的一个焦点为F（2，0），离心率为6。过焦ab3点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形AMBN面积的最大值。练习2：已知椭圆C：m_23my21（m0）的长轴长为26，O为坐标原点）求椭圆C的方程和离心率；）设点A（3,0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA||BP|，求四边形OPAB面积的最小值都在椭圆C上，直线PA交_轴于点M

(6)圆锥曲线存在性问题22例

6.已知椭圆C：_2y21aba2b20心率为2，点P0,1和点Am,nm求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用mn表示）；设O为原点，点B与点A关于_轴对称，直线PB交_轴于点N问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解析:1,）由题意得ca2a22b2解得a22，故椭圆C的方程为2c,y

2.1设M(_M,.因为m0，所以直线PA的方程为所以_Mm，1nn

1.n1_，mM(m,.1n因为点B与点A关于_轴对称，所以Bm,n.设N(_N,0)，则_N1mn存在点Q(0,yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点OMOQOQONQ(0,yQ)使得即yQ满足2yQ_M_N因为_Mm1n_Nm1n

1.所以2或2，故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，点Q的坐标为（0,2）或（0,2）1ab的左、2yb22_练习1：设F1，F2分别为椭圆2a23右焦点，点P（1，）在椭23圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称。

(1)求椭圆E的方程；

(2)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。_242y的焦点重合，F

1、练习2：设椭圆C：_2y21（ab0）的一个顶点与抛物线：abF2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e33，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点

(1)求椭圆C的方程；uuuuruuur

(2)是否存在直线l，使得OMON1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理

4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆