圆锥曲线知知识总结及典型题型.docx

.圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于|F1F2|，当常数等于|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当常数小于|F1F2|时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以F1F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若2a=0，则轨迹是线段F1F2的中垂线；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是ABCD（答：C）方程表示的曲线是答：双曲线的左支）

.（20北京，理4）若点P到直线_1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：(1)椭圆：焦点在轴上时（参数方程，C同号，AB）。示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，比如：已知方程表示椭圆，则的取值范围为答：）；若，且，则的最大值是，的最小值是_（答：）。2）双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：1（方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程答：）；设中心在坐标原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率的双曲线C过点则C的方程为答：）3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是答：(2)双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。焦点到原点的距离等于一次项系数的四分之一；

.圆锥曲线的几何性质：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a|F1F2|）的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（02a|F1F2|）的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e1）与定点和直线的距离相等的点2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）的轨迹.轨迹点集：（MMF1 MF2点集：MMF1-MF

.点集MMF=点M到直线条件=2a,F1F22a=2a,F2F22a.l的距离.图形方程标准方程22_y221(ab0)a2b222_y221(a0,b0)a2b2y22p_参数方程_acosybsn（参数为离心角）_asecybtan（参数为离心角）_2pt(t为参数)y2pt范围a_a，byb|_|a，yR_0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴_轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b_轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b._轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)F(2p,0)准线2a_=c准线垂直于长轴，且在椭圆外.2_=a2c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧._=-p2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c(c=a2b2)2c(c=a2b2)离心率ce(0e1)ace(e1)ae=1答：或）；双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于双曲线的离心率为，则=答：4或）；设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是（答：）；3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为答：）；

点和椭圆的关系：1）点在椭圆外2）点在椭圆上1；3）点在椭圆内有一个顶点（0,0）；准线：一条准线；离心率：o直线与曲线相切（o直线与曲线相离（当a0，曲线定不是椭圆；若曲线是双曲线，则直线比如：若曲线是抛物线。则直线l与抛物线的对称轴平行或重合（1个交点）；直线yk_1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是答：6直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）22联立C消元得a_2b_c0（或ay2byc0）当a0，o直线与曲线相交（2个交点）；1个交点）；0个交点）；l与渐近线平行（1个交点）或重合（0个交点）；1，5）（5， ）；对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是（答：相离）；特别提醒：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。1，双曲线过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2条（2与渐近线平行）过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3条（1切线 2与渐近线平行）过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4条（2切线 2与渐近线平行）若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；1切线 2与另一渐近线平行）；P为原点1条（与对称轴平行）1条（1切线 1与对称轴平行）注意：点在两条渐近线上但非原点，只有两条（时不存在这样的直线；2，抛物线过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有3条（2切线 1过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有与对称轴平行）比如：过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（答：2）；过点（0,2）与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为（答：）；若直线y=k_ 2与双曲线_2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（答：过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有条（答：3）；过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则（答：1）；设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为（填大于、小于或等于）（答：等于）；求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

0、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：过抛物线y2=4_的焦点作直线交抛物线于A（_1，y1），B（_2，y2）两点，若_1 _2=6，那么|AB|等于（答：8）；过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如：如果椭圆弦被点A4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程答：）已知直线y=_ 1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：_2y=0上，则此椭圆的离心率为答：）；对称（答：试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12你了解下列结论吗？

1)双曲线的渐近线方程为2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。

.1（20北京，理11）设双曲线C经过点2,2，且与y_21具有相同渐近线，则C的4方程为；渐近线方程为.22【答案】_y1；y2_312

3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆（m0,n0,mn）；双曲线方程可设为（mn0）；

4)椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

5)通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

6)若抛物线的焦点弦为AB，则；7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点13动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F（1,0）和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程（答：或）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过_轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到_轴距离之积为2m，以_轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如

1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）；

2)点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是（答：）；

3)一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为（答：）；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如

1)AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是（答：）；

3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是（答：）；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足；

2)求点T的轨迹C的方程；

3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（答：(1)略；

2)；

3)当时不存在；当时存在，此时F1MF22）