最全圆锥曲线知识点总结精编版

：_=acos讨=bsin(参数方程，其中k=-聖ay。

,所以只有AB、C同号,高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点Fi,F2的距离之和等于常数(PF, |PF2=2a丁店2),这个动点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距注意：若PFJ PF2ITFF2，则动点P的轨迹为线段FF2;若PFi |PF2|FF2，则动点P的轨迹无图形.

(1)椭圆：焦点在_轴上时笃y-=(a2=b2C2)二a2b222为参数)，焦点在y轴上时笃=(ab0)。ab

2.椭圆的几何性质：

(1)椭圆(以笃与=(ab0)为例)：范围：一a乞_乞a,-b乞y乞b:焦点：ab两个焦点(_c,0):对称性：两条对称轴_=0,y=0，个对称中心(0,0),四个顶点(二a,0),(0,二b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；离心率：e=C，椭圆：=0：e：,ea越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

(2).点与椭圆的位置关系：点P(_0,y0)在椭圆外二y0；ab2222点P(_,y)在椭圆上=笃卷=；点P(_,y)在椭圆内=笃卑：abab3直线与圆锥曲线的位置关系：

(1)相交：=0=直线与椭圆相交；

(2)相切：八：=0=直线与椭圆相切；

(3)相离：厶：0二直线与椭圆相离；22如：直线yk_仁0与椭圆 =恒有公共点，贝Um的取值范围是；5m

4.焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)

5.弦长公式：若直线y=k_b与圆锥曲线相交于两点A、B，且_,_2分别为A、B的横坐标，I则AB=J_k?_-_2，若yy2分别为A、B的纵坐标，则AB=J 2y一y2，若弦kAB所在直线方程设为_=ky b，则|AB=j k2|%-y?。

6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆22务占=中，以p(_,y)为中点的弦所在直线的斜率ab22如

(1)如果椭圆話弋习弦被点A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是22_y

(2)已知直线y=_ 与椭圆2=(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在ab直线L:_2y=0上，则此椭圆的离心率为；

(3)试确定m的取值范围，使得椭圆A=上有不同的两点关于直线y=4_m对称;43特别提醒：因为厶0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验厶.0!椭圆知识点的应用

1.如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：222(ab0),(ac0)，且(a-bc)。可借助右图理解记忆：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看_2,y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4方程A_2By2=C(代B,C均不为零)是表示椭圆的条件方程A_2By2=C可化为CCCC且a=b时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在_轴上；当时，椭圆的焦点在yABAB轴上。

5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异22共焦点，贝yc相同。与椭圆笃爲=（a.b0）共焦点的椭圆方程可设为ab22_V222（m-b），此类问题常用待定系数法求解。ambm

7.判断曲线关于_轴、y轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的_换成一_，方程不变，则曲线关于y轴对称；若把曲线方程中的y换成-y，方程不变，则曲线关于_轴对称；若把曲线方程中的_、y同时换成-_、一y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8.如何求解与焦点三角形PFF2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式S应吋2=丄PFi汉PFsinNFiPFz相结合的U22方法进行计算解题。将有关线段|PF

1、PF2，有关角NFPF2（NFPF2WNFBF2）结合起来，建立PF |PF2|、|PF凶PF?之间的关系.

9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？c长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e=-（0：e：），因为ac2=a2b2，aAc0，用a、b表示为e=、：-

(一)（0vev）。显然：当越小时，e（0：e）越大，椭圆形状越扁；当越大，e（0：e：）越小，aa椭圆形状越趋近于圆。题型：椭圆定义的运用22_.y例已知F,F为椭圆的两个焦点，过F的直线交椭圆于A、B两点若259F2A EBP2,贝U|AB=._2y222例

3.已知P为椭圆上的一点，M,N分别为圆（_3）y=和圆256（_3）2 y2=4上的点，贝UPM |PN的最小值为题型2：求椭圆的标准方程例

1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)经过两点A（、3,-2）,B（-

2.3,）；22经过点（2，-3）且与椭圆9_4y=36具有共同的焦点；

(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4、2-

4.题型3:求椭圆的离心率例ABC中，.a=30,AB=2,2人8。=工3若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为.例

2、过椭圆的一个焦点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若FPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）22例

1.已知实数_,y满足-y,则_2y2-_的范围为4222例

2.已知点代B是椭圆刍=mnuuuuuir(m0,n7)上两点，且AO-BO,则=题型5：焦点三角形问题22例

1.已知F,F2为椭圆-的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知P,F,F2为一个直角三94角形的三个顶点，且PFIPF2,求書Fj的值.22例

2.已知F,F2为椭圆C：y的两个焦点，在C上满足PF一PF2的点的个数为84例

3.已知椭圆的焦点是F（0,-）,F2（0,）,且离心率e求椭圆的方程；设点P在椭圆2上，且PR-PF2=,求coFPF

2.2例

2.如果方程_2 ky2=2表示焦点在_轴的椭圆，那么实数k的取值范围是题型6:三角代换的应用22_y例椭圆一 L=上的点到直线l：_ y-9=0的距离的最小值为6922例2椭圆_y的内接矩形的面积的最大值为69题型7:直线与椭圆的位置关系的判断22例当m为何值时，直线y=_m与椭圆-=相交？相切？相离？6922例2若直线y二k_(kR)与椭圆L=恒有公共点，求实数m的取值范围；5m题型8:弦长问题422例求直线y=2_-4被椭圆一L--所截得的弦长992_2例2已知椭圆y2=的左右焦点分别为F,F2，若过点P(0,-2)及F的直线交椭圆于A,B2两点，求ABF2的面积；题型9:中点弦问题22例

1.求以椭圆=内的点A(2,-)为中点的弦所在的直线方程。

85例2中心在原点，一个焦点为F(0,50)的椭圆截直线y=3_-2所得弦的中点横坐标为舟,求椭圆的方程.223椭圆詁亍的一条弦被A_平分，那么这条弦所在的直线方程是4.若F,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点FF2F2FPF2=:2:3，则此椭圆的离心率为5.在平面直角坐标系中，椭圆一差=(ab0)的焦距为2c,以O为圆心，a为半径的圆，ab2过点(,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=c基本知识点双曲线定义例_____m_2十ny2=与直线_十y=相交于AB两点，点C是AB的中点.若AB=22OC的斜率为(O为原点)，求椭圆的方程.巩固训练

1.如图，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB与BF交于。,且BDB=90o范围则椭圆的离心率为_222设FF2为椭圆7y勺的两焦点,uuuuurP在椭圆上，当FPF2面积为时，PFPF2的值为双曲线标准方程(焦点在_轴)22_2y2=(a0,b0)ab标准方程(焦点在y轴)2y2a2_2=(a0,b0)b定义：平面内与两个定点F,F2的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。:MMF|MF2=2a?2a：:FF2卜2PkF

1、对称轴_轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点0(0,0)焦点坐标Fd-cF2(c,0)R(0,-c)F2(0,c)焦点在实轴上，c=Ja b焦距：FF2=2c顶点坐标(-a,0)(a,0)(0,-a,)(0,a)离心率 孑,(e)渐近线方程by=-_aya=土一_b共渐近线22_yk(k录0k的双曲线

2.2aba2b2系方程2双曲线_2a2-=与直线y:b2二k_ b的位置关系：直线和双r2_利用应22Tr.二次方程用判别式确定。b2转化为一兀曲线的位y=k_ b置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长|AB= k2 _2)24_i_2补充知识点:XXX丄

6.一69222vz2C.(yA3)69D._6(y冬-3)9同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为y=:J_,则离心率为4a.B.-C.5或卫D..334XXXX2224kA._2：k:B.k：0C.-5：k：0D._2：k：02同步练习二：双曲线笃a2一2=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为b2222例

2、已知双曲线兰工=的离心率为e：2，则k的范围为例

3、设p是双曲线弓气上一点，双曲线的一条渐近线方程为3_-2沪0，?分别是双曲线的左、右焦点，若PFi=3，贝UPF2的值为.同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为（0,-2）,（Q2），且经过点（2,5），则双曲线的标准方程例

4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（等轴双曲线的主要性质有:

(1)半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；

(2)其标准方程为_2-y2=C，其中C=0；

(3)离心率e2；

(4)渐近线：两条渐近线y=_互相垂直；例题分析：例

1、动点P与点只（0,5）与点F2（0,5）满足PhPF2=6，则点P的轨迹方程为2_(A)-y2=32(C)y-=322和丄-0=932和_2-=3(B)(D)22-y2=禾廿y2-=3322-y2=和392=3同步练习四：已知双曲线的中心在原点,上且PF_PF2,22a.2L_y23例

5、与双曲线渐近线的距离是(A)8两个焦点Fi,F2分别为（J5,0）和（-75,0），点p在双曲线且PFF2的面积为22_yB.32，则双曲线的方程为（2_2C.y=4y22yD._42y有共同的渐近线，且经过点A（-3，2、.3的双曲线的一个焦点到一条96_2(B)4(C)2(D)同步练习五：以y=J3_为渐近线，一个焦点是f（0,2）的双曲线方程为例

6、下列方程中，以_2y=0为渐近线的双曲线方程是22(A642_22(C)y=(D)_22y_=i2同步练习六：双曲线8k_2-ky2=8的一个焦点是（0，3），那么k的值是4.（20__年高考湖南卷文科6）设双曲线马-y（a0）的渐近线方程为3__2y=0,则a的a9值为A.4B.3C.2D.

2.5202高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系_Oy中，若双曲线的离心率为5,mm 4则m的值为2例

7、经过双曲线_2亡的右焦点F2作倾斜角为30的弦AB抛物线

(1)求|AB|.

(2)Fi是双曲线的左焦点，求FiAB的周长.22同步练习七过点（0,3）的直线I与双曲线-y只有一个公共点，求直线I的方程。

43高考真题分析

1.

【202高考新课标文0】等轴双曲线C的中心在原点,焦点在_轴上，C与抛物线y2=6_的准线交于代B两点,AB=4-、3;则C的实轴长为（(A).2(B)22(Cr(D)

【202高考山东文】已知双曲线C22笃-禺=（a0,b0）的离心率为2.若抛物线ab2C2:_=2py（p-0）的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(A)

2.83(B)2632(C)_=8y2(D)_=6y

3.【202高考全国文0】已知F

1、22F2为双曲线C:_-y=2的左、右焦点，点P在C上,|PF2|PF2|，则cosFPF2二33(A)(B)(C)-454(D)抛物线y2=2p_(P=0)y(，=-2p_P=0)_(yO：2=2pyp0)_I_(y-OF2=-2pyp0)LI定义平面内与一个疋点F和一条疋直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

5|时|=点M到直线l的距离范围_H0,严R_兰0,护RR,y0R,y兰0对称性关于_轴对称关于y轴对称焦占

八、

八、（詁（予（o,号）（0-岁）焦点在对称轴上顶点O(0,0)离心率e=准线方程p_=一一2p_=一2pyp准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离_p2焦点到准线的距离p焦半径A(_,V)AF=论 卩2AF=-论 P2AF=% 上2AF=-% 卫2焦点弦长AB(为 _2) p-(_ _2) P(V V2) P-(V) P焦点弦ab|的几条性质A(_,yjB(_2,y2)JyA以,)_2，y2)以AB为直径的圆必与准线相切若AB的倾斜角为a，则ab=竽sina若AB的倾斜角为口，贝UAB=cosaP22__2=yy2_p

XXX BFAB2 AFBF一AF_BF_AFBF一p切线方程yy=p(_仕)yy=-p(_ _。__=p(y y。__=_p(y y。

1、直线与抛物线的位置关系联立方程法:y=k_ b2=2p_=设交点坐标为k2_22(kb_p)_b2二0,B(_2,y2)，则有厶=0,以及__2,_2，还可进一步求出yiy2二k_ibk_2b=k(_i_2)2b22yy(k_b)(k_2b)=k__2kb(__2)b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

(1)相交弦AB的弦长_2二k(_乂2)2-4畑2二k2AB=

(2).中点M(_0，V0)，点差法：V0=VV22设交点坐标为A(_，yj，B_y)，代入抛物线方程，得22V=2p_V2=2p_2将两式相减，可得(y-y2)(yy2)=2p(_-_2)V-V22p_-_2yrV2v=k_十b直线l:y=k_b抛物线C:y2=2p_,由2，消y得：ly=2p_ 2(幼-p)_ 护=0

(1)当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

(2)当k工0时，0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线I与抛物线相切，一个切点；v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)

1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

(1)在涉及斜率问题时,kAB=2pVV

(2)在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(_0,y0)，V一V2片一_22p2ppVV22yV0同理，对于抛物线_2=2py(p=0)，若直线I与抛物线相交于A、B两点，点M(_0,y)直线I:yk_抛物线C:y2=2p_，(p=0)是弦AB的中点，则有kAB二上4=益二凶(注意能用这个公式的条件：)直线2p2pp与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零)