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完美版圆锥曲线知识点总结模板word文档

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完美版圆锥曲线知识点总结模板word文档

圆锥曲线的方程与性质1椭圆

(1)椭圆概念平面内与两个定点F

1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1||MF2|2a。椭圆的标准方程为：_2y21（ab0）（焦点a2b2y2_21（ab0）（焦点在y轴上）。在_轴上）或2b2a注：以上方程中a,b的大小ab0，其中b2a2c2；在_2y21y2_21两个方程中都有a2b2和2b2aab0的条件，要分清焦点的位置，只要看_2和y2的分母的大小。例如椭圆_2y2（m0，n0，n）mn1m当mn时表示焦点在_轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质范围：由标准方程_2y21知|_|a，|y|b，a2b2说明椭圆位于直线_a，yb所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所关于_轴对称，同理，以_代替_方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以_代替_，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于_轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与_轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令_0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得_a，即A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与_轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A

2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b2；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。aac0，0e

1，且e越接近

1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近0，c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为_2y2a2。以若点(_,y)在曲线上时，点(_,y)也在曲线上，所以曲线2双曲线

(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（|PF1||PF2|2a）。注意：式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支；|PF2|PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；当2a|F1F2|时，|PF1|PF2|2a表示两条射线；当2a|F1F2|时，|PF1|PF2|2a不表示任何图形；两定点F

1，F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。

(2)双曲线的性质_2y

1，看出曲线在坐标系中范围：从标准方程b2a2的范围：双曲线在两条直线_a的外侧。即_2a2，_a即双曲线在两条直线_a的外侧。_2y21关于每个坐标轴和原点都对称性：双曲线ba22是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线_2y2a2b21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双_2y21的方程里，对称轴是_,y轴，所以令曲线2b2ay0得_a，因此双曲线和_轴有两个交点A(a,0)A2(a,0)_2y21的顶点。，他们是双曲线2b2a令_0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲_2y21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。线b2a2等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：y_；

(2)渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：_2y2(0)，当0时交点在_轴，当0时焦点在y轴上。_2y2y2_2注意1与91的区别：三个量16916a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3抛物线

(1)抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，定直线l叫做抛物线的准线。有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：方程y22p_p0叫做抛物线的标准方程。y22p_，_22py，_22py.这四种抛物线的图注意：它表示的抛物线的焦点在_轴的正半轴上，焦点坐形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标是F（p_p,0），它的准线方程是；

(2)抛物线的性质y22p_y22p__22py_22py标准方程0)(p0)(p0)(p0)(pyylyFloF_lo_oF_图形焦点坐标(p,0)(p,0)(0,p)(0,p)2222准线方程p_pypyp_2222范围_0_0y0y0对称性_轴_轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1e1说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直对称轴的弦称为通径；

(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

(3)注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)上的点与一个二元方程f(_,y)=0以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C上f(_0,y0)0。C的方程是f(_,y)=0，则点P0(_0,y0)在曲线C上f(_0,y0)=0；点P0(_0,y0)不在曲线两条曲线的交点：若曲线C

1，C2的方程分别为f1(_,y)=0,f2(_,y)=0,则点P0(_0,y0)是C

1，C2的交点f1(_0,y0)0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没f2(_0,y0)0有交点。

二、圆：

1、定义：点集MOM=r，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(_-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是_2+y2=r

(2)一般方程：当D2+E2-4F0时，一元二次方程_2+y2+D_+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(D,E)半径D)2+(y+E)2=D222是D2E24F。配方，将方程_2+y2+D_+Ey+F=0化为(_+E2-4F2224当22时，方程表示一个点(E);D+E-4F=022当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.

(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(_00点M在圆C内，,y)，则MCrMC=r点M在圆C上，MCr点M在圆C内，其中MC=(_0-a)2(y0-b)2。

(4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线A_+By+C=0的距离dAaBbCA2B2与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(_,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0e1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线1到两定点F

1，F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)1到两定点F

1，F2的距离之差的的F|)绝对值为定值2a(02a1）（0e0)1(a0,b0)方程a2b2a2b2程参数_acos_asecybsinybtan方程(参数为离心角）(参数为离心角）范围a_a，byb|_|a，yR中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(a,0),(a,0)(0,b),(0,b)对称轴_轴，y轴；_轴，y轴;长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)22y22p__2pt2(t为参数)y2pt_0(0,0)_轴pF(,0)_=a_=a_=-p准线cc2准线与焦点位于顶点两侧，准线垂直长轴，且在椭圆准线垂直实轴，且在两顶点的外.内侧.且到顶点的距离相等.焦距2c（c=a2b2）2c（c=a2b2）离心率ec(0e1)ec(e1)e=1aa【备注1】双曲线：等轴双曲线：双曲线_2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y_，离心率e

2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线._2y2与a2b2_2y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：_2y

XXX共渐近线的双曲线系方程：_2y2(0)的渐近线方程为_2y20如果双曲线的渐近线为_y0时，a2b2a2b2ab它的双曲线方程可设为_2y2(0).a2b2【备注2】抛物线：(1)抛物线y2=2p_(p0)的焦点坐标是(p,0)，准线方程_=-p，开口向右；抛物线y2=-2p_(p0)的焦点坐22标是(-p,0)，准线方程_=p，开口向左；抛物线_2=2py(p0)的焦点坐标是(0,p)，准线方程y=-p，开2222口向上；抛物线_2=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-p），准线方程y=p，开口向下.22p；抛物线y

(2)抛物线y2=2p_(p0)上的点M(_0,y0)与焦点F的距离MF_0=-2p_(p0)上的点M(_0,y0)p2与焦点F的距离MF_02p，顶点到准线的距离p，焦点

(3)设抛物线的标准方程为y2=2p_(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为22到准线的距离为p.

(4)已知过抛物线y2=2p_(p0)焦点的直线交抛物线A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(_

1，y1),B(_2,y2)，则弦长AB=或2p(为直线AB的倾斜角，122，12p21p(AF_1_2+pABsin2)yyp__4,AF_2叫做焦半径).

五、坐标的变换：(1)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系_Oy中的坐标是（_,y)，在新坐标系_Oy中的坐标是(_,y).设新坐标系的原点O在原坐标系_Oy中的坐标是(h,k)，则__h或__hyykyyk叫做平移(或移轴)公式.

(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴(_-h)2+(y-k)2=1a2b2椭圆(_-h)2+(y-k)2=1b2a2(_-h)2k)2=1a2b2双曲线(y-k)2h)2=1a2b22(y-k)=2p(_-h)(y-k)2=-2p(_-h)抛物线(_-h)2=2p(y-k)(_-h)2=-2p(y-k)

六、椭圆的常用结论：(c+h,k)_=a2+hc(h,c+k)y=a2+kc(c+h,k)_=a2+kc(h,c+h)y=a2+kc(p+h,k)_=-p+h22(-p+h,k)_=p+h22(h,py=-p+k)+k22(h,-p+k)y=p+k22_=hy=k_=hy=k_=hy=k_=hy=ky=ky=k_=h_=h

1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.

XXX平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若P(_,y)_2y2_0_y0y.在椭圆1上，则过P0的椭圆的切线方程是000a2b2a2b

6.若P0(_0_2y21外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P

1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是,y0)在椭圆2b2a_0_y0y

1.a2b

7._2y21(ab0)的左右焦点分别为F

1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点椭圆2b2a角形的面积为SFPF2b2tan.1

8.椭圆_2y21（ab0）的焦半径公式a2b2|MF1|ae_0,|MF2|ae_0(F1(c,0),F2(c,0)M(_0,y0)).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应焦点F的椭圆准线M、N两点，则MFNF.